Bilangan Sempurna

Dalam Matematika, apakah ada sesuatu yang lebih sempurna dari hal lainnya? Banyak guru Matematika tak henti-hentinya mengatakan kepada para siswanya bahwa Matematika sempurna. Kalau begitu, sekarang kami akan memperkenalkan kesempurnaan dalam bilangan seperti yang ditetapkan oleh komunitas Matematika. Berdasarkan teori bilangan, kita menyebutkanya “Bilangan Sempurna”, yang didefinisikan sebagai bilangan yang sama dengan jumlah dari faktor-faktornya (semua faktor kecuali bilangan itu sendiri). Bilangan sempurna yang paling kecil adalah 6, dimana 6 = 1 + 2 + 3, yang merupakan jumlah dari faktornya dengan tepat.

Bilangan sempurna berikutnya adalah 28, dimana 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14. Dan yang selanjutnya adalah 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +124 +248, yang merupakan jumlah dari semua faktor dari 496 kecuali dirinya sendiri.

Empat bilangan sempurna yang pertama telah diketahui oleh Nicomachus seorang matematikawan Yunani pada abad ke-1, yaitu 6, 28, 496, dan 8.128.

Selanjutnya adalah Euclid, orang yang memperkenalkan suatu teori untuk membuktikan bagaimana cara menemukan suatu bilangan sempurna. Dia mengatakan bahwa jika 2k – 1 adalah bilangan prima, maka 2k – 1(2k – 1) adalah suatu bilangan sempurna. Dengan kata lain, kapanpun kita menemukan nilai dari k sehingga kita mendapatkan bilangan prima untuk 2k – 1, maka kita dapat menyusun suatu bilangan sempurna.

Kita tidak perlu mengunakan semua nilai dari k, karena jika k bilangan komposit (campuran) maka 2k – 1 juga bilangan komposit.
Jika k = pq, lalu 2k − 1 = 2pq − 1 = (2p − 1) (2p(q−1) + 2p(q−2)+ …•+1).
Sehingga, 2k − 1 hanya menjadi prima jika k adalah prima, namun hal ini tidak berarti bahwa jika k adalah prima, maka 2k – 1 akan menjadi prima juga, sebagaimana dapat dilihat pada nilai dari k berikut ini:
k 2 3 5 7 11 13
2k −1 3 7 31 127 2.047 8.191
Dimana 2.047 = 23 × 89, jadi tidak termasuk bilangan prima.
Dengan menggunakan metode Euclid untuk menggeneralisasikan bilangan prima, kita mendapatkan table berikut ini:

Nilai dari k
2
3
5
7
13
17
19

Nilai dari 2k – 1(2k – 1) ketika 2k – 1 adalah bilangan prima.
6
28
496
8.128
33.550.336
8.589.869.056
137.438.691.328

Dalam pengamatan, kami mencatat beberapa sifat dari bilangan sempurna. Mereka kelihatnnya berakhir dengan 6 atau 28, yang didahului oleh suatu bilangan ganjil. Mereka juga muncul sebagai bilangan bersegitiga ( sebagai contoh, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 28 + 29 + 30 + 31).
Lebih jauh lagi, setiap bilangan sempurna setelah 6 adalah jumlah bagian dari rangkaian berikut: 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + … Sebagai contoh, 28 = 13 + 33, dan 496 = 13 + 33 + 53 + 73. Anda bisa meminta siswa anda untuk mencoba menemukan bagian jumlah dari bilangan sempurna berikutnya.
Kami belum mengetahui jika ada sifat yang lain dari bilangan sempurna, tidak ada lagi yang telah ditemukan. Dengan menggunakan computer, kita memiliki banyak fasilitas yang lebih baik untuk menentukan lebih banyak bilangan sempurna. Siswa anda bisa mencoba untuk menemukan bilangan sempurna yang lebih besar dengan menggunakan metode Euclid.