Ini bukanlah suatu trik. Matematika tidak memberikan keanehan yang muncul menjadi sulap. Ini adalah satu hal yang telah mencengangkan ahli Matematika selama bertahun-tahun dan masih tidak ada yang tahu kenapa hal itu terjadi. Cobalah, anda akan menyukainya atau setidaknya siswa juga akan menyukainya.
Mulailah dengan meminta siswa-siswa anda untuk megikuti dua aturan selama mereka bekerja dengan bilangan yang dipilih secara acak.
Jika bilangannya ganjil, maka kalikan dengan 3 dan tambah 1.
Jika bilangannya genap, maka bagi dengan 2
Tanpa memperhatikan bilangan yang mereka pilih, mereka akan selalu mengakhirinya dengan 1, setelah mengulangnya beberapa kali.
Mari kita mencobanya dengan bilangan 12 yang kita pilih secara acak:
12 adalah bilangan genap; maka kita membaginya dengan 2 dan menghasilkan 6.
6 juga bilangan genap, jadi kita bagi lagi dengan 2 dan menghasilkan 3.
3 adalah bilangan ganjil; kita kalikan dengan 3 dan tambahkan 1 dan menghasilkan 10.
10 adalah bilangan genap, jadi kita bagi dengan 2 dan hasilnya 5.
5 adalah bilangan ganjil, kita kalikan dengan 3 dan tambahkan 1 dan hasilnya 16.
16 adalah bilangan genap, jadi kita bagi dengan 2 dan hasilnya 8.
8 adalah bilangan genap, jadi kita bagi dengan dan 2 hasilnya 4.
4 adalah bilangan genap juga, jadi kita bagi dengan 2 dan hasilnya 2.
D2 adalah bilangan genap, lalu kita bagi dengan 2 dan hasil akhirnya adalah 1.
Percayailah bahwa bilangan apapun yang kita gunakan, kita akan akhirnya akan mendapatkan 1. Ini sungguh luar biasa! Cobalah lagi dengan menggunakan bilangan lainnya untuk meyakinkan diri anda bahwa hal itu benar. Kami telah memulainya dengan 17 yang kami pilih secara acak, kita akan melalui 12 langkah untuk mencapai 1. Diawali dengan 43 akan membutuhkan 29 langkah. Anda sebaiknya meminta siswa anda untuk mencoba yang lainnya dan perhatikanlah apabila mereka dapat mencapai bilangan 1.
Apakah hal ini berlaku untuk semua bilangan? Inilah pertanyaan yang menjadi perhatian ahli Matematika sejak tahun 1930-an, dan hingga sekarang belum ada jawaban yang telah ditemukan, walaupun hadiah uang telah ditawarkan untuk pembuktian dari hubungan ini.
Angka 1 adalah simbol yang penuh makna, salah satunya adalah tentang tauhid, yakni "hual awwalu wal aakhiru", dan "inna lillahi wa inna ilaihi raajiuun" Mungkin itulah mengapa semua angka di atas selalu kembali ke 1, wallahualam...
- nashrull
- Being a teacher not only as a choice, but also more as a calling life.
Kamis, 16 Juli 2009
Kamis, 09 Juli 2009
Untitled
Teori segala hal sudah dirumuskan beribu tahun yang lalu namanya geometri dasar, bilangan , dan huruf-huruf. Cara menyusunnya itulah yang disebut teori segala sesuatu itu yang tercitrakan di indra maya kita via mata karena adanya cahaya matahari, lalu di korteks selebral diekstrak dengan bantuan geometri, bilangan dan huruf-huruf maka jadilah berbagai rumusan, cita rasa, kode-kode hukum pemantulan cahaya, fisika, genetika, dll.
Siapakah produk praktis implementasi teori segala hal itu? Ya kita sendiri yang bisa ngomong dengan berbagai bahasa dan menulis dengan berbagai cara, dan mencitarasakan cahaya berbagai spektrum lantas muncul realitas maya.
Perburuan teori segala hal akan kembali kepada diri kita sendiri selama kita masih menggunakan system geometri, huruf dan bilangan yang ada di bumi ini dari zaman hieroglif sampai zaman kode avatar milis internet. Jadi, upaya ilmuwan akan merujuk kepada rumusan a=qm, allah=qalbu mukminun. Alias aksioma mutlak 1 = 1 .
Kalau mau digambarkan maka lihatlah simbol huruf laam-alif, pentolan huruf laam alif adalah realitas the matrix yang kita cerna dengan berbagai ilmu dengan dasar yang sama bilangan dan abjad, itulah dasar-dasar seluruh kitab wahyu dimana al-qur'an lah satu-satunya kitab yang konsep dan penguraiannya benar karena tidak menyimpang dengan kaidah logis yang kita sepakati bersama dimana akar minus satu kali akar minus satu sama dengan -1 sehingga nilai positifnya adalah 1 sebagai aksioma mutlak benar prima kausa alias pengetahuan tauhid (biner) 10101010, alias huruf "ba" dari basmalah yang melingkar menjadi "huwal awwalu wal akhiru, wal dzahiru wal batinu, wa huwa bikulli syain qodir." (Qs: 57:3).
Bingung Cari SMS??? Baca di sini!!!
“Waktu mengandung dirimu dulu, ibumu pasti ngidamnya kopi ya? Abis gara-gara kamu aku jadi susssaaahh tidur…”
==========================
“Sejuta kata cinta ingin kusampaikan. Apa daya pulsaku habis! Kirimkan pulsamu, aku akan kirimi SMS cintaku…”
======================
Teman sejati selalu berbagi, kalo saya jadi laut, kamu jadi ikan, saya jadi kumbang kamu jadi bunga, saya jadi matahari kamu jadi bumi, kalo saya jadi tarzan, kamu mau jadi monyetnya?
=====================
Cintailah sesamamu seperti kamu mencintai dirimu sendiri, tapi jangan mencintai pacar sesamamu seperti kamu mencintai pacar kamu sendiri.
=====================
Saat aku sedih kau disampingku, saat aku marah kau ada di dekatku. Saat aku menangis kau disisiku, Sekarang aku sadar, jangan2 kau adalah pembawa sial untukku.
========================
Sudah sejak lama aku memperhatikanmu, mencuri pandang hanya untuk melihatmu, ku tak tahu apa yang harus aku katakan kepadamu agar kau mengerti ada UPIL di hidungmu.
=========================
Saat anda membaca SMS ini, mata anda akan terbuka, anda akan melihat tulisan ini, selanjutnya… terserah anda
============================
Burung gelatik makan keripik, elo cantik tapi munafik, makan keripik dan buah cempedak, dasar munafik muke luh badak!
============================
Sayang sering aku telp kamu… Aku sms kamu… ternyata kini aku sadar, ternyata… mmmmm aku lebih sayang sama PULSAKU.
================================
Hari ini aku kangen banget sama kamu, aku sangat merindukanmu, aku ingin kamu kerumahku, PLEASE balik sama aku karena aku benar2 butuh seorang PEMBANTU!
=============================
Saat aku nggak SMS ke kamu, bukan berarti aku melupakanmu, tapi aku hanya memberi waktu buat NGANGENIN AKU…!!!
==============================
INGATKAN! lebih baik pilih Presiden SIPIL yg MILITERIS, daripada MILITER yang SIPILIS.
=============================
Kalo kamu MARAH keluarkan AMARAHmu, kalo kamu sedih keluarkan tangisanmu, tapi ingat…! kalo kamu MALU jangan keluarkan KEMALUANMU…!!!
=============================
Sms ini buat besok
bacanya besok
sabar ya…..
ye…dibilangin bacanya besok !!!
maksa banget sich !!
Terserah !! tadinya mo bilang selamet pagi….
tapi jadi met malem dech….
===============================
Biarlah semua terjadi, biarlah semua berlalu, tapi aku nggak akan pernah lupa sama kamu, kareana sampai saat ini… kamu… NGGAK PERNAH BAYAR UTANG! NUMPUK TUH!!
================================
Aku g’ ngerti knp sih skrg kita jd musuhan gini?? pdhl dulu kita srg main sama2. Apa krn kita beda? memang aku manusia dan kamu MONYET, tp salahkah kt berteman??
================================
Persahabatan adalah seperti ngompol di celana. Semua orang bisa melihatnya, tapi hanya kita yang merasakan kehangatan sebenarnya. Trima kasih telah jadi ompolku!
============================
kl lo jadi bunga, gw rela jd kupu2, kl lo siang, gw rela jd malem, kl lo laut, gw rela jd ikannya, kl lo jd monyet, gw rela…
Sumpah deh … ! gw rela
===========================
Rese lu!Kg dpt dpercaya!P’hianat!Norak!Kampungan!Lu kira gw takut, hah??Knp lu kasih tau rahasia gua ke org2 kalo gua tuh…CAKEEPPP!!
==============================
Angkat tangan!!Ini perampokan! Pria kekanan, wanita kekiri, setengah pria setengah wanita ketengah! Ya kamu! Hei Kamu! Jangan pura2 baca sms,AYO KETENGAH!!
===============================
Sewaktu pagi saya tak bisa makan karena mikirin kamu. Sewaktu siang aku ngga bisa makan karena ingat kamu. Dan malamnya aku ngga bisa tidur karena aku………lapar!
==============================
gue percaya ama loe karena loe temen gue. Tapi kenapa loe kayak gitu ke gue. Gue gak percaya loe tega kayak gini ke gue. Kenapa loe tega ngomongin gue dibelakang. Gue gak abis pikir kenapa loe promosiin kalo gue itu keren
==============================
Kenapa koboi Meksiko kalo berpetualang selalu bawa gitar?
Emangnya disuruh bawa piano? yang bener ajaaa
==============================
uda lama aku pengen bilang ke kamu kalo selama ini aku selalu deg-deg-an kalo sms kamu karena aku sayang sekali sama….. pulsaku…
===========================
Sorry nih, sore2 gini mau ngeganggu, aku mau minta tolong nih, kalo lagi ga sibuk, kalo bisa dan ga keberatan. Kalo gak ngerepotin, tolong hapusin sms ini dong !
=============================
Kamu itu cakep, baik, ramah, lucu, menyenangkan, pintar, supel, suka menolong, mengagumkan dan aku simpatik sama kamu.
Begitu kata teman2ku tentang AKU…
===============================
Merasa sedih dan sepi?
Hubungi gue!!
Tak ada teman curhat?
Hubungi gue!!
Merasa strezz seperti mo gila?
Hubungi RUMAH SAKIT JIWA DONKKK!!!!!
JANGAN GUE MELULU!
===================================
“ini siapa sih? jawab donk, sms kalo temen, telpon kalo sodara, kalo miscall lagi berarti KEBO, kalo diem aja berarti MONYET!”
================================
SELAMAT, sekarang handphone anda sudah di lengkapi dengan puzzle game caranya mudah yaitu lempar hand phone anda ke dinding dengan keras lalu susun kembali dan seterusnya -SELAMAT BERMAIN-
=================================
Pantun PERCAYA DIRI: Buah SEMANGKA buah DUREN-gak NYANGKA gue KEREN. Buah MANGGA buah MANGGIS-gak DISANGKA gue MANIS. Ada GULA ada SEMUT-ih GILA, gue IMUT2…
==========================
Mau telp gratis? Dari Fren… Tinggal bilang aza Fren, fren pinjem telpon nya donk !!!
=================================
Meskipun kini cintamu berharga mahal, aku akan menunggu program diskon darimu.
==================================
kenapa orang solo kalah kalo ikut lomba lari? karena pada saat start dia bukannya lari tapi malah bilang monggo mas…
=====================================
KABAR GEMBIRA!!! Sekarang HP Anda telah dilengkapi fasilitas NADA SELA.Anda dapat menerima telp di SELA2 pintu,SELA2 jendela & di SELA2 meja. …
======================================
Sejak mengenalmu aku susah melupakanmu… tiap malam kau hadir dalam mimpi-mimpiku dan membuatku mengigau SETAN…SETAN… …
===================================
Selintas lalu senyummu masih terlintas basah membasuh gurun di hatiku inginku bertanya dalam keraguan………????? Semalem tidur ngiler ya..!!! …
==============================
Say… dikau adalah idamanku. Say… tanpamu terasa hampa. Say… daku menginginkanmu, merasakanmu, menikmatimu. Say…ur Bayam seikat berapa ya??? …
==============================
Jika hidupmu dalam kegelapan, berdoalah. Karena hanya dengan doa hidupmu akan tenang dan terang. Namun jika engkau sudah berdoa dan suasana disekitarmu masih gelap, berarti anda belum BAYAR LISTRIK. …
=============================
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ123456789*# cuma mau ngecek tombol HP, apa berfungsi semua. Sekalian mau bilang SELAMAT PAGI!
=====================================
Jatuh cinta berjuta rasanya …kalau jatuh dari sepeda cuma satu rasanya: SAAAAAKIIIIT!
=================================
Awas !!! Jangan banting ponselmu. Nanti kamu harus beli yang baru!
===============================
“Kalau jabatan Pemimpin Cabang kuperoleh, aku akan bersikap tegas” “Kalau disuap…?” “Tegas kuterima!”
=============================
“Kita harus belajar pada negara lain agar tidak terjadi kebakaran hutan lagi!” “Negara mana?” “Arab…..”
==============================
Ketika kau akan pergi jauh
hati ini rasanya tercabik cabik, hatiku bagai
tak rela melepaskanmu pergi karena kamu MASIH
PUNYA HUTANG KEPADAKU
=================================
CiNta adaLah rasa CayaN9 YG lbh utk dpt memiliki & menJagaNya.
Tp kadang Rasa CinTa bisa di MAKAN api cemburu,di MAKAN rasa bNci
& di MAKAN nafsu, tp aP pUn MAKANANnya mnum nyA TEH BOTOL SOSRO…
=================================
From: Dieta
ke tokyo bLi Li2n !!!
Hoyo 9e Pean ???
BKiN PeTi PkE KyU !!!
PsTi MkRiN aQ ???
mAn9kOkAsEm D MkN BuAyA !!!
KoK mEsEm k9n_Y ???
================================
From: DITA OCTAVIANI
Sin9Kon9 emPuk ???
TaPe DecH !!!
Da9in9 D TusUk ???
SaTe DecH !!!
TmN_Y Jen9koL ???
peTe DecH !!!
tMn_y Bwn9 ???
CaBe DeCh !!!
y9 aQ Pn9an9 ???
Hp DecH !!!
y9 BcA cMz Ne ???
jLx DecH !!!
He….He,,,,,,,,
=================================
From: Alma
Takkan HADIR tanpa pertemuan…
Takkan TULUS tanpa kejujuran…
Takkan SUCI tanpa ikatan…
Takkan ABADI tanpa kesetiaan…
Takkan INDAH tanpa kasih sayang…
I LOVE YOU
=================================
From: Tita
tEraSi,SrIkAyA camPuR pIZza
PeRmIsi OrANG KaYa mO bUaNG pUlSa
bUah mArkIsA BuAh kEdonDOng
OrANg SusAh BaLaS doNK
=============================
From: Juan
Siapa yang pintar Hayo!, ini Bahasa Indonesia yang benar! nya bagaimana
: naik=keatas, turun=kebawah, mundur=kebelakang, maju=kedepan,
masuk-kedalam, lalu kalau keluar=… ?
=============================================
bertemu dengan mu adalah takdir
menjadi sahabat mu adalah pilihan
tapi jatuh cinta pada mu itu sungguh diluar kendaliku
===============================================
From : Acink
fhashsu adgyugad uadhauidhua adbuadguaoadnd i bndodhao dhbuawrjiw
…………………………
……………….
bingungkan .??????
sama aku juga bingung!!!!!!
================================================
Cinta…cinta itu bagaikan kotoran dan lalat, yang selalu nempel dan tak
akan pernah lepas sebelum ada orang yang iseng mengganggunya… By. Iduy
Wia choy,,,
====================================
Bukan laut namanya jika airnya tidak berombak, bukan cinta namanya jika
perasaan tidak pernah terluka…
===================================
From : Rendra
SuaRa gaduh gerinda maruya
duh ada yg malu ya !!??
ikan BAu Kena cuka
Mau di taroo MAna tu muka ??
Ade Stroberi dari blanda
SooRY …. Ya Bcanda …
==================================
klo dibaca kamu utang kencan ma aku…..!!!
klo dbalez kamu utang ciuman ma aku…!!!
klo ga dibalez kamu utang pelukan ma aku…!!!
klo dihapus kamu terima cinta aku…..?
==================================
Aku suka kmu. Kl gak bls sms ini km suka ma aku,kalo jwb sms ini km trm
aku,kl km bc sms ini km respon ma aku,kl km gak bc sms ini km suruh aku
kerumah kamu.
===================================
Di malam yang sunyi,di suasana yang sepi dan tak terasa rintik hujan pun
turun entah kenapa hanya kau yang ingin kutemui, tuk mengatakan “GENTENG
RUMAH LO BOCOR”
===================================
Ketika kita saling bertatapan, kau sentuh punyaku… kusentuh punyamu… kau pegang punyaku, ku pegang punyamu… kau remas punyaku, kuremas punyamu… itulah cara bersalaman yang baik.
================================
Gue baca koran ttg bahaya rokok,
gue berhenti merokok.
Gue baca koran ttg bahaya minuman keras,
gue berhenti minum bir.
Pas gue baca koran ttg bahaya sex,
gue berhenti baca KORAN.
=================================
Kemarin aku terperangah, ada yang cakep banget di mall.
—–
Sialan, ternyata itu cermin! Oh ternyata aku sendiri!
=====================================
Q maw ngomong
Sblmq terlambat
N sblum org lain
Ktkn kpdmu
Mungkin terlalu cpt bwt u
Q gk maw bohongi ht q sendiri
Skarg saat yg tepat uyk jujur ma U
PULSAKU HABIS!!!!!!!!!
==================================
Kucing burik sakit tetanus
Jgn sirik klo q dpt BNZ..!!
Mnum es pke Bengkuang..
Q sms Cuma Ngabisin Bonus DoanK..!!
Phon palem, phon tomat..
Met malem Sobat…
Maen raket pd nyemes
Ad monyet baca sms
Ad copet jln lurus
Eh.. monyet bc terus
Tkang pellet naik motor smash,
Eh monyet ketagihan baca sms
Ha..ha…ha…
Sayang…
Sayang…..
Sayang………..
Sayang……………
Sayang bgt ya kalo ampe jam 12 bonus smsnya g diabisin.. He99X
==========================================
Prshbatn qt t indah bgd
Klo k ketawa
Aq juga ktawa
Klo kamu nangis
Aq jg nangis
Tp klo km kepleset
Aq ktawa mpe nangis2
Indh bgd kn?
=============================
Snggh q cinta U
Pagi
Sianx
Malam
Ingin slalu ad U
Dr skian banyk pilihan
Hny U plhan q tak day g laen slaen dirimu
INDOMIE seleraq…….
==================================
pernah ga sih kmu mikir kalo aku lebih perhatian dan sayang sama kamu daripada sama orang lain ?
karena kata dokter pasien cacat mental seperti kamu itu butuh perhatian lebih
hehehe…
================================
Cinta jgn pernah diGANTUNG sprt MELLY GOESLAW yg akhirnya PUDAR sprt ROSSA, carilah CINTA SEJATI sprt ARI LASSO, hingga jadi KENANGAN TERINDAH sprt SAMSON. Bila kamu gk mw DI JADIKAN YANG KEDUA sprt ASTRID kamu harus JUJUR & TULUS sprt RADJAdan KENAGLAH aq sprt UNGU jgnlah kamu SELINGKUH sprt KANGEN BAND, nnt kamu KETAHUAN oleh MATTA BAND LHO…
AQ akan MENUNGGU-MU seperti PETERPAN dan AQ akan SETIA seperti JIKUSTIK…
===================================
klo bersamamu 1 menit serasa 60 detik
1 jam serasa 60 menit
sehari serasa 24 jam …. itulah keajaiban alam
kmu pake jam yang ada alarmnya ngga ?
================================
Pejamkan matamu biarkan jiwamu terbang melayang
Hiruplah udara sedalam-dalam
Dan rasakan kentut yang kau keuarkan
Betapa nikmat bukan???
Itulah kentut yang kau keluarkan
Memang baunya busuk tak karuan
Bagaikan bangkai yang membusuk di tepi jalan
Dan tak terhiraukan
Demikian puisi yang saya sampaikan
Apabila ada kata-kata yang salh mohon di maklumi
Akhir kata wasalam
============================
Saat hatimu terasa pedih
dan air mata tak dapat lagi kau bendung
maka tumpahkanlah air matamu itu
aku akan selalu menemanimu
selalu ada di sampingmu
untuk menyeka air matamu
karena aku…
jual TISSUE…
TIssue..Tissue… 2000 tiga bungkus!!
Mw g? hehe…
=============================
Answer me seriously..Do u luv me?
Be honest..Come on..Confess..Last Chance..NERVOUS?
U dun’t luv Mie?Ok lah,how about Bihun?
sumber:
www.ketawa.com
http://smshumor.filmpendek.org/index.php
http://sukabiru.wordpress.com/
===========
Kamu itu :
1. Istimewa
2. Baik
3. Ramah
4. lucu
5. Pintar
6. Supel
7. Mengagumkan dan aku simpatik sama kamu.
Begitu kata teman²ku tentang AKU…
Bukan tentang KAMU!!!
==============================================
Coba liat nih ada 1 pohon..
,;*”*;, kamu liat
*;,Y,;* kan??
_ )(_
Knapa kamu gk prnah sms aku lagi?
Apa lu mau
digantung disitu??
==================================================
I look at the Sun…….
The Sun is Beautiful…
I look at you
i……..
i……..
i……..
I rather look at the sun again
====================================================
Setelah Kepergianmu,
Hatiku Terasa Pilu…
Banyak Kenangan Terindah Yang Tak Bisa Kulupakan,
Apakah Semua Itu Akan Terulang Kembali…?
Pujaanku Kau Tetap Dihatiku Selalu…
Perasaanku Tetap Sama Seperti Dulu…
Apakah Kamu Merasakan Hal Yang Sama…?
Dan Kau Harus Tahu…
Bahwa Aku Akan Tetap Menunggu Kedatanganmu…
Selalu Dengan Hati Yang Berbunga-Bunga…
====================================================
keberanian hati adalah jiwa manusia sejati, kesabaran adalah pakaiannya,ketenangan adalah selimutnya,doa adalah senjatanya,dan Allah adalah penolongnya, ingatkan dia selalu padamu ya Allah… kemudian padaku
==================================================
bagi dunia,
kamu mungkin hanyalah seseorang
tapi bagi seseorang
kamu mungkin adalah dunianya.
=============================================
1 Detik..
2 Menit..
3 Jam..
4 Hari..
5 mInggu..
6 Bulan..
7 Tahun..
selama apaPun Engaku menunggu q, q tak kan berubah…
karena q bukanlah PoweR RangErz..=p
=============================================
“Raja Valentinus mngorbankan kepalanya demi Rakyatnya,..”
“Romeo mngorbankan nyawanya demi sang JuLiet…”
Tapi aku hanya mngorbankan Rp 350 demi mengucapkan…
“Meth TiduR,.SLeep Tight ya..,”
=========================================
” I want to give my love to someone….and i hope you will be the only one to receive”
==========================================
Writen with a pen
Sealed with a kiss
if u r my love
please answer me this:
Are we?
Or are we not?
you told me once
But I forgot
So tell me now
n tell me the true
So i can say
I’m here 4 u
of all d people
I ever met
You’re d one
I won’t forget
And if i die
before u do
I’ll go to heaven
And wait 4 u
========================================
Jalan menuju NEXT LEVEL
tdk selalu lurus…
ada tikungan bernama
KEGAGALAN…
Ada bundaran bernama
KEBINGUNGAN…
Tanjakan bernama
TEMAN…
Lampu merah bernama
MUSUH…
Lampu kuning bernama
KELUARGA…
Engkau akan mengalami
ban PECAH…
itulah PROSES…
tapi jika engkau membawa
ban serep bernama
TEKAD…
Mesin bernama
KETEKUNAN…
Asuransi bernama
PERCAYA…
Penolong bernama
TUHAN…
Kau akan sampai di daerah yang
disebut…
KELULUSAN…
====================================
I hide my tears when I say your name,
but the pain in my heart is still the same. Although I Smile & Seem Carefree,
There is no one Who misses you more than ME!
======================================
aku ingin mencintaimu dengan sederhana:
dengan kata yang tak sempat diucapkan
kayu kepada api yang menjadikannya abu
aku ingin mencintaimu dengan sederhana:
dengan isyarat yang tak sempat disampaikan
awan kepada hujan yang menjadikannya tiada
===========================================
“Jika mungkin ak ingin menulis namamu dibintang agar semua orang tahu bahwa ak senang bisa mengenalmu . . .”
===========================================
“aku berusaha memberikan cinta terbaik yang aku punya buat kamu . aku pastikan klo hatiku cuma buat kamu…. jadi jgn marah lagi ya sayang….. “
=============================================
dik titip sesuatu yaaa…
titip hatiku…
============================================
A boy was about to leave. But before he did, he gave his girl a dozen roses :
11 are real and 1 is artificial. Then he told the girl ,”Don’t cry, I will love you until the last one dies..”
=========================================
i miss u like a falling star, if u c there is no star in d sky, means there’s no enough star to count how i miss u..
==========================================
Distiap doa yang trucap luruh khusyuk iringi malammu, sejahteralah tidurmu, terberkati mimpimu. Met tidur yah sayang. GBU
=======================================
Don’t ever wish a happy ending on ur love story, cause true love never have a ending ^^
======================================
Dalam sayur ada kaldu
Dalam xuxu ada madu
Dalam hatiku ada kamu
Tapi waktu melihat wajahmu, rasanya seperti aku melihat hantu
=================================================
“I’ve already given up a lot of things in my life, but you’re the last thing i won’t give up in my life”
=================================================
“In my life I learned how 2 love 2 smile 2 be happy 2 be strong 2 work hard 2 be honest 2 be faithful 2 forgive but I couldn’t learn how.. 2 stop remembering u.”
“I want to live in your eyes, die in your arms and be buried in your heart.”
“The most beautiful remembrance is the time with you. I will keep it in my heart
=====================================================
anda gagal dalam bercinta?
ragu pada kejujurannya?
kecewa pada sikapnya?
ingin bunuh diri?
just call me!
toko peti mati!!
melayani kremasi jg…
==========================================
CaTu-catu…
ak chayank km…
Dua-duA…
Ak cinta km…
Tiga-Tiga
KaNgen Ama km…
Satu-DuA-TiGa
Boonk semuany…
========================================
“who said english is easy?”
please fill this blank either with “YES” or “NO”
“______, i am a pig.”
=========================================
klo ku bilang gak mau ya gak mau
klo kubilang gak suka ya gak suka
klo kamu bilang aku egois itu lah aku
kayanya hub kita sampai disini aja
thanks to all.
===========================================
aq menulis namamu di langit
tp awan menghapusnya
aq menulis namamu di pantai
tp ombak menghapusnya
jadi aq menulis namamu di hatiku
biar nggak akan ada yg bisa menghapusnya..
===========================================
dont walk behind me
coz i wont lead u
dont walk in front of me
cz i wont follow u
plizz walk beside me and be my friend
==========================================
ukirlah namaku di hatimu,
kenanglah diriku selalu.
karena aku akan pergi jauh ke Jepang
untuk………
membantu Utraman taro
melawan monster kalajengking
ha……ha……….ha ……..
==============================================
“this nitez i realized sumtin, not about i love u so much and how much u love me, but about i care so much bout u and don’t want u to be hurt…. when u hurt u once… it’s hurt me twice”
===============================================
cinta itu bukan menyayangi org yang sempurna
tp cinta itu adalah menyayangi org yg tak sempurna dengan cara yang sempurna
==========================================
I sought for Love
But Love ran away from me.
I sought my Soul
But my Soul I couldn’t see.
Then I sought You,
And I found all three.
===========================================
“I’m alone…
need U beside me…
need U more wise than me…
need U 2 care bout me…
need U really love me..
& hope U never leave me”
=====================================
kupu2 yg indah trsenyum n bertnya mengapa aku ikut tersenyum?
dan aku menjawab,warnamu yg indah seperti hidupku saat ini krn aku pny dia yg mencintaiku!!dia itu kmu
======================================
luv me just the way i am n luv u just the way u r!!
its so hard..but keep try!coz we’re so complicated..were so different…but we’re one!!
am i right??
=========================================
Coklat berkata kepada Wafer..
Kita ini memang beruntung terlahir Manis..
sehingga banyak orang yang suka kepada kita..
Wafer menjawab..
Kamu sangka kita yang paling manis…?
Tidak sadarkah kamu bahwa yang membaca sms ini lebih manis dari kita..
tuhkan…dia tersenyum..coba lihat manis sekali kan senyumannya..
================================================
Jika waktu dapat berenti mengalir…
Aku berharap itu waktu kita sedang bahagia.
Jika waktu harus mengalir pergi…
Aku berharap kamu ga kan ngelupain aku.
Jika suatu hari aku harus ninggalin kamu…
Aku akan bilang ke kamu, aku ga nyesel kenal ama kamu.
===========================================
If you cant love the one you love.. Love the one you have =)
=============================================
if Life is a game, i wish u always win..
if Life is a journey, i wish u walk on roses…
if Life is joy, i wish u always smile…
Have a beautiful day!
GBU
==================================================
Suatu hari kau akan bertanya, mana yg lebih penting,
harta atw hubungan qt ?
aku jawab ‘HARTA’
Lalu kau pergi meninggalkanku tanpa tau bahwa kaulah hartaku..
==============================================
kalo kamu hidup 100tahun lamanya..
aku mau hidup 100tahun-1hari..
karena aku ga mau hidup sehari tanpa adanya kamu..
===============================================
“Km pernah mengajarkan yang terbaik dlm hidupku dan aku merasa mnjadi lebih baik, Kita saling menghargai,menjaga,setia dan saling mencinta. Apa km pernah berfikir apa jadinya diriku tanpamu?”
=============================================
there r 3 things i love : the sun, the moon, and you
the sun for the day
the moon for the night
and you, for..ever..
==============================================
Lapar ya?Udah makan belum?kalo belum gw kasih kwaci deh… kwacian deh lu…
============================================
A special breakfast 4U today..
- a glass of care
- a plate of love
- a spoon of peace
- a fork of trust
- a bowl of prayers
hopefully U enjoy it..
========================================
Jika hujan bagai KESULITAN matahari bagai KEBAHAGIAAN, maka kita membutuhkan keduanya untk bisa melihat PELANGI
===========================================
I want to live in your eyes, die in your arms and be buried in your heart.
================================================
I want u … To be with me In a nice Restaurent To have candle light dinner…. & to say those sweet three words to U…. “Pay The Bill”
=================================================
A B C D E F G H I J
K L M N O P Q R S
T V W X Y Z
oops! i miss “U”
==========================================
I heard someone whisper ur name..
but when I turn around to see..
Who it was??
I notice I was alone..
Then I realize it was my heart telling me that..
I MISS U!
====================================
A-lways
B-e
C-arefull
D-on’t
E-ver
F-orget me
J-uz
K-eep
L-ovin’
M-e coz
N-o
O-ther
P-erson
Q-uite
R-ight
S-hall
T-reat
U
V-ery
W-ell
X-ee
Y-ou
Z-oon
===========================================
There are many stars but the bright are few
There are many friends but the great are few
To forget me its up to you.. But to forget u.. I will never do..
===========================================
If u feel like needing someone ‘n theres 100 steps between us, U can take only 1 step to get near me and I’ll take all the 99 steps to be there for u
=============================================
When i’m walking in front of you,i’m protecting you
When i’m beside you, i’m there for you
When i’m behind you, i’m watching over you
When i’m alone, i’m thinking of you
================================================
Bunga adalah caramu tersenyum…
Sinar mentari tidak lain adalah pelukan hangat…
Bintang hanyalah gambaran caramu menjagaku sepanjang malam..
Dan menjadi dirimu adalah cara mu hadir nyata dalam kehidupanku..
-Gud Nite-
================================================
Romantis:
everytime i hear my msg tone, i always hope one of them comes from u. my phone has limited memory but my heart has unlimited space 4 someone like u
A butterfly needs its wings … an icebear needs cold weather and I … I need you!
What is a flower without the sun, what is the earth without the sky. What am I without you, that is why I tell you … I love you
==============================================
Pantun PERCAYA DIRI: Buah SEMANGKA buah DUREN-gak NYANGKA gue KEREN. Buah MANGGA buah MANGGIS-gak DISANGKA gue MANIS. Ada GULA ada SEMUT-ih GILA, gue IMUT2…
==================================================
sms humor n jayus
Good
Person.
It’s YOU !
Good
Friend
It’s YOU again
Good
Taste
That’s YOU
Good
Will
It’s also YOU
Good
Looking
Aghhhh
It’s 2 much 4 you
It’s ME…. lah!!
==============================================
“If one star will fall everytime I miss you,, all d’stars should be out of d’sky now!!So, if there’s no stars in d’sky,,it’s all your fault!! You make me miss you so much,, How You!!”
=========================================
Dlm Kolam ada berudu, dlm hati terdpt rindu, bkn prazaan cemburu or terharu..cuma kata I miss U, biar kau tau I’m still loving U..
=========================================
I waited
9 month
2c d world
1yr 2walk
2yrs 2 talk
5yrs 2 start studying
But i really waited
too many yrs 2 find
a wonderful person
like you
===========================================
I mayb far 4a minute, 4a hour, 4a day, 4a month, but i’ll always b thre 4u
i may not b able to always say gud morning, gud evening, gud night, but…
i’ll never say gud bye to you…
================================================
Di suatu malam, aku sedang duduk termenung sendiri
Seandainya datang satu bintang, dan dia bertanya kepadaku
“Jika dia telah membuatmu menangis, akankah kau tinggalkan dia?”
Dan ku pun tertunduk terdiam
Kemudian ku tatap kembali sang bintang sambil bertanya
“Wahai bintang, akankah kau tinggalkan langitmu?”
================================================
Sayang, km tau ngga..
kl km sakit, aq juga ngerasa sakit..
Aq akan lakukan apa aja u km asal km baik2 aja dan bahagia..
Makanya aq ga mau km sakit..
Yawda, pokoknya skrg km makan, trus diminum obatnya dan istirahat yang cukup..
Dan aq disini akan berdoa supaya km bisa cepet sembuh..
Luv u my prince..
===============================================
Ya Allah…
Ampunilh hamba-MU ni krn dy lbh sring bc SMS drpd bc Al-Qur’an
Ya Allah…
Sadarkanlh hamba-MU ni krn dy lbh bnyk beli pulsa drpd brsedekah
======================================
Ku iNgin
katakan
sesuatu
padamu
but
jangan
marah
yawh!
ku
tw ni3
terlalu
cepat
sebelumku
terlambat
&
sebelum
orang
lain
katakan
padamu
lebih
baik
ku
katakan
sekarang
meet bobo y, m9 mimpi indah
====================================
bwt mlm bintanglah yg special,
bwt bunga kumbanglah yg special,
but bwt aq,cuma kmulah yg plg special…
=============================
pejamkan matamu,,
bersama heningny malam
petiklah bunga mimpi
dgn jemari kelembutan
dan,,
tidurlah dgn sejuta impian,
sampai pagi kembali datang
menyapamu dgn senyuman
GOOD NIGHT n NICE DREAM yawh!!!!
===================================
Semua pelukis terkenal,
sanggup dan bisa melukis wajah cantikmu,
di atas kanvas,
Tetapi mungkin cuma aku yg bisa melukisnya,
di dalam hati.
========================================
Mungkinkah MENTARI bersanding REMBULAN?
Mungkinkah SIANG bertemu MALAM?
Mungkinkah API berteman AIR?
Mungkinkah MIMPI berubah jadi NYATA?
==========================================
Bilangan Sempurna
Dalam Matematika, apakah ada sesuatu yang lebih sempurna dari hal lainnya? Banyak guru Matematika tak henti-hentinya mengatakan kepada para siswanya bahwa Matematika sempurna. Kalau begitu, sekarang kami akan memperkenalkan kesempurnaan dalam bilangan seperti yang ditetapkan oleh komunitas Matematika. Berdasarkan teori bilangan, kita menyebutkanya “Bilangan Sempurna”, yang didefinisikan sebagai bilangan yang sama dengan jumlah dari faktor-faktornya (semua faktor kecuali bilangan itu sendiri). Bilangan sempurna yang paling kecil adalah 6, dimana 6 = 1 + 2 + 3, yang merupakan jumlah dari faktornya dengan tepat.
Bilangan sempurna berikutnya adalah 28, dimana 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14. Dan yang selanjutnya adalah 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +124 +248, yang merupakan jumlah dari semua faktor dari 496 kecuali dirinya sendiri.
Empat bilangan sempurna yang pertama telah diketahui oleh Nicomachus seorang matematikawan Yunani pada abad ke-1, yaitu 6, 28, 496, dan 8.128.
Selanjutnya adalah Euclid, orang yang memperkenalkan suatu teori untuk membuktikan bagaimana cara menemukan suatu bilangan sempurna. Dia mengatakan bahwa jika 2k – 1 adalah bilangan prima, maka 2k – 1(2k – 1) adalah suatu bilangan sempurna. Dengan kata lain, kapanpun kita menemukan nilai dari k sehingga kita mendapatkan bilangan prima untuk 2k – 1, maka kita dapat menyusun suatu bilangan sempurna.
Kita tidak perlu mengunakan semua nilai dari k, karena jika k bilangan komposit (campuran) maka 2k – 1 juga bilangan komposit.
Jika k = pq, lalu 2k − 1 = 2pq − 1 = (2p − 1) (2p(q−1) + 2p(q−2)+ …•+1).
Sehingga, 2k − 1 hanya menjadi prima jika k adalah prima, namun hal ini tidak berarti bahwa jika k adalah prima, maka 2k – 1 akan menjadi prima juga, sebagaimana dapat dilihat pada nilai dari k berikut ini:
k 2 3 5 7 11 13
2k −1 3 7 31 127 2.047 8.191
Dimana 2.047 = 23 × 89, jadi tidak termasuk bilangan prima.
Dengan menggunakan metode Euclid untuk menggeneralisasikan bilangan prima, kita mendapatkan table berikut ini:
Nilai dari k
2
3
5
7
13
17
19
Nilai dari 2k – 1(2k – 1) ketika 2k – 1 adalah bilangan prima.
6
28
496
8.128
33.550.336
8.589.869.056
137.438.691.328
Dalam pengamatan, kami mencatat beberapa sifat dari bilangan sempurna. Mereka kelihatnnya berakhir dengan 6 atau 28, yang didahului oleh suatu bilangan ganjil. Mereka juga muncul sebagai bilangan bersegitiga ( sebagai contoh, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 28 + 29 + 30 + 31).
Lebih jauh lagi, setiap bilangan sempurna setelah 6 adalah jumlah bagian dari rangkaian berikut: 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + … Sebagai contoh, 28 = 13 + 33, dan 496 = 13 + 33 + 53 + 73. Anda bisa meminta siswa anda untuk mencoba menemukan bagian jumlah dari bilangan sempurna berikutnya.
Kami belum mengetahui jika ada sifat yang lain dari bilangan sempurna, tidak ada lagi yang telah ditemukan. Dengan menggunakan computer, kita memiliki banyak fasilitas yang lebih baik untuk menentukan lebih banyak bilangan sempurna. Siswa anda bisa mencoba untuk menemukan bilangan sempurna yang lebih besar dengan menggunakan metode Euclid.
Bilangan sempurna berikutnya adalah 28, dimana 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14. Dan yang selanjutnya adalah 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +124 +248, yang merupakan jumlah dari semua faktor dari 496 kecuali dirinya sendiri.
Empat bilangan sempurna yang pertama telah diketahui oleh Nicomachus seorang matematikawan Yunani pada abad ke-1, yaitu 6, 28, 496, dan 8.128.
Selanjutnya adalah Euclid, orang yang memperkenalkan suatu teori untuk membuktikan bagaimana cara menemukan suatu bilangan sempurna. Dia mengatakan bahwa jika 2k – 1 adalah bilangan prima, maka 2k – 1(2k – 1) adalah suatu bilangan sempurna. Dengan kata lain, kapanpun kita menemukan nilai dari k sehingga kita mendapatkan bilangan prima untuk 2k – 1, maka kita dapat menyusun suatu bilangan sempurna.
Kita tidak perlu mengunakan semua nilai dari k, karena jika k bilangan komposit (campuran) maka 2k – 1 juga bilangan komposit.
Jika k = pq, lalu 2k − 1 = 2pq − 1 = (2p − 1) (2p(q−1) + 2p(q−2)+ …•+1).
Sehingga, 2k − 1 hanya menjadi prima jika k adalah prima, namun hal ini tidak berarti bahwa jika k adalah prima, maka 2k – 1 akan menjadi prima juga, sebagaimana dapat dilihat pada nilai dari k berikut ini:
k 2 3 5 7 11 13
2k −1 3 7 31 127 2.047 8.191
Dimana 2.047 = 23 × 89, jadi tidak termasuk bilangan prima.
Dengan menggunakan metode Euclid untuk menggeneralisasikan bilangan prima, kita mendapatkan table berikut ini:
Nilai dari k
2
3
5
7
13
17
19
Nilai dari 2k – 1(2k – 1) ketika 2k – 1 adalah bilangan prima.
6
28
496
8.128
33.550.336
8.589.869.056
137.438.691.328
Dalam pengamatan, kami mencatat beberapa sifat dari bilangan sempurna. Mereka kelihatnnya berakhir dengan 6 atau 28, yang didahului oleh suatu bilangan ganjil. Mereka juga muncul sebagai bilangan bersegitiga ( sebagai contoh, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 28 + 29 + 30 + 31).
Lebih jauh lagi, setiap bilangan sempurna setelah 6 adalah jumlah bagian dari rangkaian berikut: 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + … Sebagai contoh, 28 = 13 + 33, dan 496 = 13 + 33 + 53 + 73. Anda bisa meminta siswa anda untuk mencoba menemukan bagian jumlah dari bilangan sempurna berikutnya.
Kami belum mengetahui jika ada sifat yang lain dari bilangan sempurna, tidak ada lagi yang telah ditemukan. Dengan menggunakan computer, kita memiliki banyak fasilitas yang lebih baik untuk menentukan lebih banyak bilangan sempurna. Siswa anda bisa mencoba untuk menemukan bilangan sempurna yang lebih besar dengan menggunakan metode Euclid.
Rabu, 08 Juli 2009
Pendidikan Matematika Realistik (Realistic Mathematics Education)
Realistic Mathematics Education (RME) merupakan teori belajar mengajar dalam pendidikan matematika. Teori RME pertama kali diperkenalkan dan dikembangkan di Belanda pada tahun 1970 oleh Institut Freudenthal. Teori ini mengacu pada pendapat Freudenthal yang mengatakan bahwa matematika harus dikaitkan dengan realita dan matematika merupakan aktivitas manusia. Ini berarti matematika harus dekat dengan anak dan relevan dengan kehidupan nyata sehari-hari. Matematika sebagai aktivitas manusia berarti manusia harus diberikan kesempatan untuk menemukan kembali ide dan konsep matematika dengan bimbingan orang dewasa (Gravemeijer, 1994). Upaya ini dilakukan melalui penjelajahan berbagai situasi dan persoalan-persoalan “realistik”. Realistik dalam hal ini dimaksudkan tidak mengacu pada realitas tetapi pada sesuatu yang dapat dibayangkan oleh siswa (Slettenhaar, 2000). Prinsip penemuan kembali dapat diinspirasi oleh prosedur-prosedur pemecahan informal, sedangkan proses penemuan kembali menggunakan konsep matematisasi.
Dua jenis matematisasi diformulasikan oleh Treffers (1991), yaitu matematisasi horisontal dan vertikal.
Contoh matematisasi horisontal adalah pengidentifikasian, perumusan, dan penvisualisasi masalah dalam cara-cara yang berbeda, dan pentransformasian masalah dunia real ke masalah matematik.
Contoh matematisasi vertikal adalah representasi hubungan-hubungan dalam rumus, perbaikan dan penyesuaian model matematik, penggunaan model-model yang berbeda, dan penggeneralisasian. Kedua jenis matematisasi ini mendapat perhatian seimbang, karena kedua matematisasi ini mempunyai nilai sama (Van den Heuvel-Panhuizen, 2000)
Berdasarkan matematisasi horisontal dan vertikal, pendekatan dalam pendidikan matematika dapat dibedakan menjadi empat jenis yaitu mekanistik, emperistik, strukturalistik, dan realistik.
Pendekatan mekanistik merupakan pendekatan tradisional dan didasarkan pada apa yang diketahui dari pengalaman sendiri (diawali dari yang sederhana ke yang lebih kompleks). Dalam pendekatan ini manusia dianggap sebagai mesin. Kedua jenis matematisasi tidak digunakan.
Pendekatan emperistik adalah suatu pendekatan dimana konsep-konsep matematika tidak diajarkan, dan diharapkan siswa dapat menemukan melalui matematisasi horisontal.
Pendekatan strukturalistik merupakan pendekatan yang menggunakan sistem formal, misalnya pengajaran penjumlahan cara panjang perlu didahului dengan nilai tempat, sehingga suatu konsep dicapai melalui matematisasi vertikal.
Pendekatan realistik adalah suatu pendekatan yang menggunakan masalah realistik sebagai pangkal tolak pembelajaran. Melalui aktivitas matematisasi horisontal dan vertikal diharapkan siswa dapat menemukan dan mengkonstruksi konsep-konsep matematika.
Karakteristik RME
Karakteristik RME adalah menggunakan: konteks “dunia nyata”, model-model, produksi dan konstruksi siswa, interaktif, dan keterkaitan (intertwinment) (Treffers,1991; Van den Heuvel-Panhuizen,1998).
1 Menggunakan Konteks “Dunia Nyata”
Gambar berikut menunjukkan dua proses matematisasi yang berupa siklus di mana “dunia nyata” tidak hanya sebagai sumber matematisasi, tetapi juga sebagai tempat untuk mengaplikasikan kembali matematika. Gambar 1 Konsep Matematisasi (De Lange,1987) Dalam RME, pembelajaran diawali dengan masalah kontekstual (“dunia nyata”), sehingga memungkinkan mereka menggunakan pengalaman sebelumnya secara langsung. Proses penyarian (inti) dari konsep yang sesuai dari situasi nyata dinyatakan oleh De Lange (1987) sebagai matematisasi konseptual. Melalui abstraksi dan formalisasi siswa akan mengembangkan konsep yang lebih komplit. Kemudian, siswa dapat mengaplikasikan konsep-konsep matematika ke bidang baru dari dunia nyata (applied mathematization). Oleh karena itu, untuk menjembatani konsep-konsep matematika dengan pengalaman anak sehari-hari perlu diperhatikan matematisi pengalaman sehari-hari (mathematization of everyday experience) dan penerapan matematikan dalam sehari-hari (Cinzia Bonotto, 2000)
2 Menggunakan Model-model (Matematisasi)
Istilah model berkaitan dengan model situasi dan model matematik yang dikembangkan oleh siswa sendiri (self developed models). Peran self developed models merupakan jembatan bagi siswa dari situasi real ke situasi abstrak atau dari matematika informal ke matematika formal. Artinya siswa membuat model sendiri dalam menyelesaikan masalah. Pertama adalah model situasi yang dekat dengan dunia nyata siswa. Generalisasi dan formalisasi model tersebut akan berubah menjadi model-of masalah tersebut. Melalui penalaran matematik model-of akan bergeser menjadi model-for masalah yang sejenis. Pada akhirnya, akan menjadi model matematika formal.
3 Menggunakan Produksi dan Konstruksi
Streefland (1991) menekankan bahwa dengan pembuatan “produksi bebas” siswa terdorong untuk melakukan refleksi pada bagian yang mereka anggap penting dalam proses belajar. Strategi-strategi informal siswa yang berupa prosedur pemecahan masalah kontekstual merupakan sumber inspirasi dalam pengembangan pembelajaran lebih lanjut yaitu untuk mengkonstruksi pengetahuan matematika formal.
4 Menggunakan Interaktif
Interaksi antarsiswa dengan guru merupakan hal yang mendasar dalam RME. Secara eksplisit bentuk-bentuk interaksi yang berupa negosiasi, penjelasan, pembenaran, setuju, tidak setuju, pertanyaan atau refleksi digunakan untuk mencapai bentuk formal dari bentuk-bentuk informal siswa.
5 Menggunakan Keterkaitan (Intertwinment)
Dalam RME pengintegrasian unit-unit matematika adalah esensial. Jika dalam pembelajaran kita mengabaikan keterkaitan dengan bidang yang lain, maka akan berpengaruh pada pemecahan masalah. Dalam mengaplikasikan matematika, biasanya diperlukan pengetahuan yang lebih kompleks, dan tidak hanya aritmetika, aljabar, atau geometri tetapi juga bidang lain.
Matematika Realistik (MR)
Matematika Realistik (MR) yang dimaksudkan dalam hal ini adalah matematika sekolah yang dilaksanakan dengan menempatkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran. Masalah-masalah realistik digunakan sebagai sumber munculnya konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal. Pembelajaran MR di kelas berorientasi pada karakteristik-karakteristik RME, sehingga siswa mempunyai kesempatan untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal. Selanjutnya, siswa diberi kesempatan mengaplikasikan konsep-konsep matematika untuk memecahkan masalah sehari-hari atau masalah dalam bidang lain.
Pembelajaran ini sangat berbeda dengan pembelajaran matematika selama ini yang cenderung berorientasi kepada memberi informasi dan memakai matematika yang siap pakai untuk memecahkan masalah-masalah.
Karena matematika realistik menggunakan masalah realistik sebagai pangkal tolak pembelajaran maka situasi masalah perlu diusahakan benar-benar kontektual atau sesuai dengan pengalaman siswa, sehingga siswa dapat memecahkan masalah dengan cara-cara informal melalui matematisasi horisontal. Cara-cara informal yang ditunjukkan oleh siswa digunakan sebagai inspirasi pembentukan konsep atau aspek matematiknya ditingkatkan melalui matematisasi vertikal. Melalui proses matematisasi horisontal-vertikal diharapkan siswa dapat memahami atau menemukan konsep-konsep matematika (pengetahuan matematika formal).
Pembelajaran Matematika Realistik (MR)
Menurut Pandangan Konstruktivis Pembelajaran matematika menurut pandangan konstruktivis adalah memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengkonstruksi konsep-konsep/prinsip-prinsip matematika dengan kemampuan sendiri melalui proses internalisasi. Guru dalam hal ini berperan sebagai fasilitator.
Menurut Davis (1996), pandangan konstruktivis dalam pembelajaran matematika berorientasi pada:
(1) pengetahuan dibangun dalam pikiran melalui proses asimilasi atau akomodasi,
(2) dalam pengerjaan matematika, setiap langkah siswa dihadapkan kepada apa,
(3) informasi baru harus dikaitkan dengan pengalamannya tentang dunia melalui suatu kerangka logis yang mentransformasikan, mengorganisasikan, dan menginterpretasikan pengalamannya, dan
(4) pusat pembelajaran adalah bagaimana siswa berpikir, bukan apa yang mereka katakan atau tulis.
Konstruktivis ini dikritik oleh Vygotsky, yang menyatakan bahwa siswa dalam mengkonstruksi suatu konsep perlu memperhatikan lingkungan sosial. Konstruktivisme ini oleh Vygotsky disebut konstruktivisme sosial (Taylor, 1993; Wilson, Teslow dan Taylor,1993; Atwel, Bleicher & Cooper, 1998).
Ada dua konsep penting dalam teori Vygotsky (Slavin, 1997), yaitu Zone of Proximal Development (ZPD) dan scaffolding.
Zone of Proximal Development (ZPD) merupakan jarak antara tingkat perkembangan sesungguhnya yang didefinisikan sebagai kemampuan pemecahan masalah secara mandiri dan tingkat perkembangan potensial yang didefinisikan sebagai kemampuan pemecahan masalah di bawah bimbingan orang dewasa atau melalui kerjasama dengan teman sejawat yang lebih mampu.
Scaffolding merupakan pemberian sejumlah bantuan kepada siswa selama tahap-tahap awal pembelajaran, kemudian mengurangi bantuan dan memberikan kesempatan untuk mengambil alih tanggung jawab yang semakin besar setelah ia dapat melakukannya (Slavin, 1997). Scaffolding merupakan bantuan yang diberikan kepada siswa untuk belajar dan memecahkan masalah. Bantuan tersebut dapat berupa petunjuk, dorongan, peringatan, menguraikan masalah ke dalam langkah-langkah pemecahan, memberikan contoh, dan tindakan-tindakan lain yang memungkinkan siswa itu belajar mandiri.
Pendekatan yang mengacu pada konstruktivisme sosial (filsafat konstruktivis sosial) disebut pendekatan konstruktivis sosial. Filsafat konstruktivis sosial memandang kebenaran matematika tidak bersifat absolut dan mengidentifikasi matematika sebagai hasil dari pemecahan masalah dan pengajuan masalah (problem posing) oleh manusia (Ernest, 1991). Dalam pembelajaran matematika, Cobb, Yackel dan Wood (1992) menyebutnya dengan konstruktivisme sosio (socio-constructivism). Siswa berinteraksi dengan guru, dengan siswa lainnya dan berdasarkan pada pengalaman informal siswa mengembangkan strategi-strategi untuk merespon masalah yang diberikan. Karakteristik pendekatan konstruktivis sosio ini sangat sesuai dengan karakteristik RME.
Konsep ZPD dan Scaffolding dalam pendekatan konstruktivis sosio, di dalam pembelajaran MR disebut dengan penemuan kembali terbimbing (guided reinvention). Menurut Graevenmeijer (1994) walaupun kedua pendekatan ini mempunyai kesamaan tetapi kedua pendekatan ini dikembangkan secara terpisah.
Perbedaan keduanya adalah pendekatan konstruktivis sosio merupakan pendekatan pembelajaran yang bersifat umum, sedangkan pembelajaran MR merupakan pendekatan khusus yaitu hanya dalam pembelajaran matematika.
Bagaimana Implementasi Pembelajaran MR?
Untuk memberikan gambaran tentang implementasi pembelajaran MR, berikut ini diberikan contoh pembelajaran pecahan di sekolah dasar (SD). Pecahan di SD diinterpretasi sebagai bagian dari keseluruhan. Interpretasi ini mengacu pada pembagian unit ke dalam bagian yang berukuran sama. Dalam hal ini sebagai kerangka kerja siswa adalah daerah, panjang, dan model volume. Bagian dari keseluruhan juga dapat diinterpretasi pada ide pempartisian suatu himpunan dari objek diskret.
Dalam pembelajaran, sebelum siswa masuk pada sistem formal, terlebih dahulu siswa dibawa ke “situasi” informal. Misalnya, pembelajaran pecahan dapat diawali dengan pembagian menjadi bagian yang sama (misalnya pembagian kue) sehingga tidak terjadi loncatan pengetahuan informal anak dengan konsep-konsep matematika (pengetahuan matematika formal).
Setelah siswa memahami pembagian menjadi bagian yang sama, baru diperkenalkan istilah pecahan. Ini sangat berbeda dengan pembelajaran konvensional (bukan MR) di mana siswa sejak awal dicekoki dengan istilah pecahan dan beberapa jenis pecahan.
Jadi, pembelajaran MR diawali dengan fenomena, kemudian siswa dengan bantuan guru diberikan kesempatan menemukan kembali dan mengkonstruksi konsep sendiri. Setelah itu, diaplikasikan dalam masalah sehari-hari atau dalam bidang lain.
Dua jenis matematisasi diformulasikan oleh Treffers (1991), yaitu matematisasi horisontal dan vertikal.
Contoh matematisasi horisontal adalah pengidentifikasian, perumusan, dan penvisualisasi masalah dalam cara-cara yang berbeda, dan pentransformasian masalah dunia real ke masalah matematik.
Contoh matematisasi vertikal adalah representasi hubungan-hubungan dalam rumus, perbaikan dan penyesuaian model matematik, penggunaan model-model yang berbeda, dan penggeneralisasian. Kedua jenis matematisasi ini mendapat perhatian seimbang, karena kedua matematisasi ini mempunyai nilai sama (Van den Heuvel-Panhuizen, 2000)
Berdasarkan matematisasi horisontal dan vertikal, pendekatan dalam pendidikan matematika dapat dibedakan menjadi empat jenis yaitu mekanistik, emperistik, strukturalistik, dan realistik.
Pendekatan mekanistik merupakan pendekatan tradisional dan didasarkan pada apa yang diketahui dari pengalaman sendiri (diawali dari yang sederhana ke yang lebih kompleks). Dalam pendekatan ini manusia dianggap sebagai mesin. Kedua jenis matematisasi tidak digunakan.
Pendekatan emperistik adalah suatu pendekatan dimana konsep-konsep matematika tidak diajarkan, dan diharapkan siswa dapat menemukan melalui matematisasi horisontal.
Pendekatan strukturalistik merupakan pendekatan yang menggunakan sistem formal, misalnya pengajaran penjumlahan cara panjang perlu didahului dengan nilai tempat, sehingga suatu konsep dicapai melalui matematisasi vertikal.
Pendekatan realistik adalah suatu pendekatan yang menggunakan masalah realistik sebagai pangkal tolak pembelajaran. Melalui aktivitas matematisasi horisontal dan vertikal diharapkan siswa dapat menemukan dan mengkonstruksi konsep-konsep matematika.
Karakteristik RME
Karakteristik RME adalah menggunakan: konteks “dunia nyata”, model-model, produksi dan konstruksi siswa, interaktif, dan keterkaitan (intertwinment) (Treffers,1991; Van den Heuvel-Panhuizen,1998).
1 Menggunakan Konteks “Dunia Nyata”
Gambar berikut menunjukkan dua proses matematisasi yang berupa siklus di mana “dunia nyata” tidak hanya sebagai sumber matematisasi, tetapi juga sebagai tempat untuk mengaplikasikan kembali matematika. Gambar 1 Konsep Matematisasi (De Lange,1987) Dalam RME, pembelajaran diawali dengan masalah kontekstual (“dunia nyata”), sehingga memungkinkan mereka menggunakan pengalaman sebelumnya secara langsung. Proses penyarian (inti) dari konsep yang sesuai dari situasi nyata dinyatakan oleh De Lange (1987) sebagai matematisasi konseptual. Melalui abstraksi dan formalisasi siswa akan mengembangkan konsep yang lebih komplit. Kemudian, siswa dapat mengaplikasikan konsep-konsep matematika ke bidang baru dari dunia nyata (applied mathematization). Oleh karena itu, untuk menjembatani konsep-konsep matematika dengan pengalaman anak sehari-hari perlu diperhatikan matematisi pengalaman sehari-hari (mathematization of everyday experience) dan penerapan matematikan dalam sehari-hari (Cinzia Bonotto, 2000)
2 Menggunakan Model-model (Matematisasi)
Istilah model berkaitan dengan model situasi dan model matematik yang dikembangkan oleh siswa sendiri (self developed models). Peran self developed models merupakan jembatan bagi siswa dari situasi real ke situasi abstrak atau dari matematika informal ke matematika formal. Artinya siswa membuat model sendiri dalam menyelesaikan masalah. Pertama adalah model situasi yang dekat dengan dunia nyata siswa. Generalisasi dan formalisasi model tersebut akan berubah menjadi model-of masalah tersebut. Melalui penalaran matematik model-of akan bergeser menjadi model-for masalah yang sejenis. Pada akhirnya, akan menjadi model matematika formal.
3 Menggunakan Produksi dan Konstruksi
Streefland (1991) menekankan bahwa dengan pembuatan “produksi bebas” siswa terdorong untuk melakukan refleksi pada bagian yang mereka anggap penting dalam proses belajar. Strategi-strategi informal siswa yang berupa prosedur pemecahan masalah kontekstual merupakan sumber inspirasi dalam pengembangan pembelajaran lebih lanjut yaitu untuk mengkonstruksi pengetahuan matematika formal.
4 Menggunakan Interaktif
Interaksi antarsiswa dengan guru merupakan hal yang mendasar dalam RME. Secara eksplisit bentuk-bentuk interaksi yang berupa negosiasi, penjelasan, pembenaran, setuju, tidak setuju, pertanyaan atau refleksi digunakan untuk mencapai bentuk formal dari bentuk-bentuk informal siswa.
5 Menggunakan Keterkaitan (Intertwinment)
Dalam RME pengintegrasian unit-unit matematika adalah esensial. Jika dalam pembelajaran kita mengabaikan keterkaitan dengan bidang yang lain, maka akan berpengaruh pada pemecahan masalah. Dalam mengaplikasikan matematika, biasanya diperlukan pengetahuan yang lebih kompleks, dan tidak hanya aritmetika, aljabar, atau geometri tetapi juga bidang lain.
Matematika Realistik (MR)
Matematika Realistik (MR) yang dimaksudkan dalam hal ini adalah matematika sekolah yang dilaksanakan dengan menempatkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran. Masalah-masalah realistik digunakan sebagai sumber munculnya konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal. Pembelajaran MR di kelas berorientasi pada karakteristik-karakteristik RME, sehingga siswa mempunyai kesempatan untuk menemukan kembali konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal. Selanjutnya, siswa diberi kesempatan mengaplikasikan konsep-konsep matematika untuk memecahkan masalah sehari-hari atau masalah dalam bidang lain.
Pembelajaran ini sangat berbeda dengan pembelajaran matematika selama ini yang cenderung berorientasi kepada memberi informasi dan memakai matematika yang siap pakai untuk memecahkan masalah-masalah.
Karena matematika realistik menggunakan masalah realistik sebagai pangkal tolak pembelajaran maka situasi masalah perlu diusahakan benar-benar kontektual atau sesuai dengan pengalaman siswa, sehingga siswa dapat memecahkan masalah dengan cara-cara informal melalui matematisasi horisontal. Cara-cara informal yang ditunjukkan oleh siswa digunakan sebagai inspirasi pembentukan konsep atau aspek matematiknya ditingkatkan melalui matematisasi vertikal. Melalui proses matematisasi horisontal-vertikal diharapkan siswa dapat memahami atau menemukan konsep-konsep matematika (pengetahuan matematika formal).
Pembelajaran Matematika Realistik (MR)
Menurut Pandangan Konstruktivis Pembelajaran matematika menurut pandangan konstruktivis adalah memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengkonstruksi konsep-konsep/prinsip-prinsip matematika dengan kemampuan sendiri melalui proses internalisasi. Guru dalam hal ini berperan sebagai fasilitator.
Menurut Davis (1996), pandangan konstruktivis dalam pembelajaran matematika berorientasi pada:
(1) pengetahuan dibangun dalam pikiran melalui proses asimilasi atau akomodasi,
(2) dalam pengerjaan matematika, setiap langkah siswa dihadapkan kepada apa,
(3) informasi baru harus dikaitkan dengan pengalamannya tentang dunia melalui suatu kerangka logis yang mentransformasikan, mengorganisasikan, dan menginterpretasikan pengalamannya, dan
(4) pusat pembelajaran adalah bagaimana siswa berpikir, bukan apa yang mereka katakan atau tulis.
Konstruktivis ini dikritik oleh Vygotsky, yang menyatakan bahwa siswa dalam mengkonstruksi suatu konsep perlu memperhatikan lingkungan sosial. Konstruktivisme ini oleh Vygotsky disebut konstruktivisme sosial (Taylor, 1993; Wilson, Teslow dan Taylor,1993; Atwel, Bleicher & Cooper, 1998).
Ada dua konsep penting dalam teori Vygotsky (Slavin, 1997), yaitu Zone of Proximal Development (ZPD) dan scaffolding.
Zone of Proximal Development (ZPD) merupakan jarak antara tingkat perkembangan sesungguhnya yang didefinisikan sebagai kemampuan pemecahan masalah secara mandiri dan tingkat perkembangan potensial yang didefinisikan sebagai kemampuan pemecahan masalah di bawah bimbingan orang dewasa atau melalui kerjasama dengan teman sejawat yang lebih mampu.
Scaffolding merupakan pemberian sejumlah bantuan kepada siswa selama tahap-tahap awal pembelajaran, kemudian mengurangi bantuan dan memberikan kesempatan untuk mengambil alih tanggung jawab yang semakin besar setelah ia dapat melakukannya (Slavin, 1997). Scaffolding merupakan bantuan yang diberikan kepada siswa untuk belajar dan memecahkan masalah. Bantuan tersebut dapat berupa petunjuk, dorongan, peringatan, menguraikan masalah ke dalam langkah-langkah pemecahan, memberikan contoh, dan tindakan-tindakan lain yang memungkinkan siswa itu belajar mandiri.
Pendekatan yang mengacu pada konstruktivisme sosial (filsafat konstruktivis sosial) disebut pendekatan konstruktivis sosial. Filsafat konstruktivis sosial memandang kebenaran matematika tidak bersifat absolut dan mengidentifikasi matematika sebagai hasil dari pemecahan masalah dan pengajuan masalah (problem posing) oleh manusia (Ernest, 1991). Dalam pembelajaran matematika, Cobb, Yackel dan Wood (1992) menyebutnya dengan konstruktivisme sosio (socio-constructivism). Siswa berinteraksi dengan guru, dengan siswa lainnya dan berdasarkan pada pengalaman informal siswa mengembangkan strategi-strategi untuk merespon masalah yang diberikan. Karakteristik pendekatan konstruktivis sosio ini sangat sesuai dengan karakteristik RME.
Konsep ZPD dan Scaffolding dalam pendekatan konstruktivis sosio, di dalam pembelajaran MR disebut dengan penemuan kembali terbimbing (guided reinvention). Menurut Graevenmeijer (1994) walaupun kedua pendekatan ini mempunyai kesamaan tetapi kedua pendekatan ini dikembangkan secara terpisah.
Perbedaan keduanya adalah pendekatan konstruktivis sosio merupakan pendekatan pembelajaran yang bersifat umum, sedangkan pembelajaran MR merupakan pendekatan khusus yaitu hanya dalam pembelajaran matematika.
Bagaimana Implementasi Pembelajaran MR?
Untuk memberikan gambaran tentang implementasi pembelajaran MR, berikut ini diberikan contoh pembelajaran pecahan di sekolah dasar (SD). Pecahan di SD diinterpretasi sebagai bagian dari keseluruhan. Interpretasi ini mengacu pada pembagian unit ke dalam bagian yang berukuran sama. Dalam hal ini sebagai kerangka kerja siswa adalah daerah, panjang, dan model volume. Bagian dari keseluruhan juga dapat diinterpretasi pada ide pempartisian suatu himpunan dari objek diskret.
Dalam pembelajaran, sebelum siswa masuk pada sistem formal, terlebih dahulu siswa dibawa ke “situasi” informal. Misalnya, pembelajaran pecahan dapat diawali dengan pembagian menjadi bagian yang sama (misalnya pembagian kue) sehingga tidak terjadi loncatan pengetahuan informal anak dengan konsep-konsep matematika (pengetahuan matematika formal).
Setelah siswa memahami pembagian menjadi bagian yang sama, baru diperkenalkan istilah pecahan. Ini sangat berbeda dengan pembelajaran konvensional (bukan MR) di mana siswa sejak awal dicekoki dengan istilah pecahan dan beberapa jenis pecahan.
Jadi, pembelajaran MR diawali dengan fenomena, kemudian siswa dengan bantuan guru diberikan kesempatan menemukan kembali dan mengkonstruksi konsep sendiri. Setelah itu, diaplikasikan dalam masalah sehari-hari atau dalam bidang lain.
Misteri Bilangan Nol
RATUSAN tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang.Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.
Nol, penyebab komputer macet
Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa????…..
Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap?
Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.
Bilangan nol: tunawisma
Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?????…….
Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol?
Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.
Pada garis bilangan, di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.
Mudah, tetapi salah
Guru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x + 7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung-hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y = 0 diperoleh x= (25 - 0)/3 = 8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0).
Selanjutnya berikan x = 0 diperoleh y = ( 25 - 3.0)/7 = 4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah.
Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21.
Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y = 0 diperoleh x = 21/3 =7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x = 0 diperoleh y = 21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y = 25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.
Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x + 7y =25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x+7y = 25 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x + 7y = 21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.
Bergerak, tetapi diam
Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.
Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka pada garis bilangan tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat… yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, …, 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2?
Dikutip dari www. Duniaesay.com
Nol, penyebab komputer macet
Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa????…..
Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap?
Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.
Bilangan nol: tunawisma
Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?????…….
Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol?
Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.
Pada garis bilangan, di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.
Mudah, tetapi salah
Guru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x + 7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung-hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y = 0 diperoleh x= (25 - 0)/3 = 8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0).
Selanjutnya berikan x = 0 diperoleh y = ( 25 - 3.0)/7 = 4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah.
Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21.
Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y = 0 diperoleh x = 21/3 =7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x = 0 diperoleh y = 21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y = 25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.
Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x + 7y =25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x+7y = 25 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x + 7y = 21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.
Bergerak, tetapi diam
Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.
Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka pada garis bilangan tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat… yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, …, 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2?
Dikutip dari www. Duniaesay.com
Perbedaan Antara Angka Dengan Bilangan
Sebuah angka digunakan untuk melambangkan bilangan, suatu entitas abstrak dalam ilmu matematika. Tetapi bagi orang-orang awam, angka dan bilangan seringkali dianggap dua entitas yang sama. Mereka pun umumnya menganggap angka dan bilangan sebagai bagian dari matematika.
Memang bahasa Indonesia belum cukup baku sebagai alat komunikasi dalam ilmu dan sains, sehingga belum ada konsesus resmi bahwa ‘angka’ dan ‘bilangan’ melambangkan dua hal yang sangat berbeda. Demikian pula, kedua kata angka dan bilangan masih sering dipertukarkan dengan kata nomor.
Kata nomor biasanya menunjuk satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata ‘nomor 3′ menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, …, dst. Jadi kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian ‘urutan’.
Arti kata ‘angka’ lebih mendekati arti kata ‘digit’ dalam bahasa Inggris. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari ‘digit’. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata ‘digit’, lebih baik pengertian angka dibakukan dengan batasan agar hanya ada sepuluh angka yang berbeda: 0, 1, 2 …, 9.
Untuk memperjelas pengertian angka seperti diuraikan dalam paragraf terakhir, berikut diberikan dua contoh penggunaannya.
“Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0.”,
“Inflasi di Indonesia mencapai 3 angka (three digits)” (Maksudnya, inflasi di Indonesia sudah mencapai paling sedikit 100%, sebab bilangan 100 adalah bilangan dengan nilai terendah yang bisa ditulis dengan tiga angka).
Dalam sistem bilangan biner (binary number system), yaitu sistem bilangan basis 2, hanya digunakan dua angka: 0 dan 1, untuk menyatakan sembarang bilangan bulat. Misalnya, deretan tiga angka 101 dalam sistem biner melambangkan bilangan 3 dalam sistem bilangan basis 10.
Tanpa penjelasan lebih jauh, kata ‘bilangan’ di sini selalu diartikan bilangan dalam sistem basis 10.
Jenis bilangan-bilangan Sederhana
Ada berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, … dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, …, keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmatika. Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang Z dan sedangkan himpunan semua bilangan asli biasanya dinyatakan dengan lambang N.
Setiap bentuk rasio p/q antara dua bilangan bulat p dan bilangan bulat tak nol q disebut bilangan rasional atau pecahan. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan Q.
Konsep Hingga Terhitung dan Tak Terhitung
Unsur-unsur ketiga himpunan N, Z dan Q di atas masih bisa ‘diurutkan’ (enumerated) tanpa ada satu pun yg tersisa atau tercecer. Himpunan berukuran tak hingga yg bisa diurutkan ini disebut himpunan terhitung (Inggris: countable atau denumerable).
Himpunan semua bilangan alami (real numbers), yaitu semua bilangan rasional digabung dengan semua bilangan tak rasional (atau irasional), dinyatakan dengan lambang R. Himpunan ini selain berukuran tak hingga, juga himpunan tak terhitung sebab bisa dibuktikan secara matematis, setiap usaha untuk mengurutkannya selalu gagal, karena menyisakan bilangan alami.
Silakan baca http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsDiagonalArgument.html untuk contoh pembuktian di atas. Fakta ini menjadi titik awal untuk membedakan dua konsep tak hingga dalam matematika: tak hingga terhitung dan tak hingga tak terhitung.
Untuk contoh bagaimana matematikawan mendefinisikan bilangan melalui berbagai aksioma, lihat struktur abstrak, bilangan asli atau universal.
Benda apakah sebuah bilangan itu?
Setiap bilangan, misalnya bilangan yang dilambangkan dengan angka 1, sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Misalnya, tulisan atau ketikan 1 yang terlihat di layar monitor dan Anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang tertangkap oleh indera penglihatan Anda berkat keberadaan unsur-unsur kimia yg peka cahaya dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar di layar monitor.
Demikian pula jika Anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang Anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari kapur tulis yang melambangkan bilangan 1.
Teori bilangan pada saat ini jauh lebih kompleks daripada sekedar aritmatika dan aplikasinya lebih banyak pada berbagai ilmu dan teknologi mutakhir, misalnya pada kriptografi. Silakan baca contoh isi mata kuliah teori bilangan dalam http://modular.fas.harvard.edu/edu/Fall2001/124/ Perlu diketahui, masalah dalam teori bilangan yang dikenal dengan Teorema Terakhir Fermat baru bisa dipecahkan setelah berumur ratusan tahun.
Konsep bilangan-bilangan yang lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman matematis dan logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, di awali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Memang bahasa Indonesia belum cukup baku sebagai alat komunikasi dalam ilmu dan sains, sehingga belum ada konsesus resmi bahwa ‘angka’ dan ‘bilangan’ melambangkan dua hal yang sangat berbeda. Demikian pula, kedua kata angka dan bilangan masih sering dipertukarkan dengan kata nomor.
Kata nomor biasanya menunjuk satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata ‘nomor 3′ menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, …, dst. Jadi kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian ‘urutan’.
Arti kata ‘angka’ lebih mendekati arti kata ‘digit’ dalam bahasa Inggris. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari ‘digit’. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata ‘digit’, lebih baik pengertian angka dibakukan dengan batasan agar hanya ada sepuluh angka yang berbeda: 0, 1, 2 …, 9.
Untuk memperjelas pengertian angka seperti diuraikan dalam paragraf terakhir, berikut diberikan dua contoh penggunaannya.
“Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0.”,
“Inflasi di Indonesia mencapai 3 angka (three digits)” (Maksudnya, inflasi di Indonesia sudah mencapai paling sedikit 100%, sebab bilangan 100 adalah bilangan dengan nilai terendah yang bisa ditulis dengan tiga angka).
Dalam sistem bilangan biner (binary number system), yaitu sistem bilangan basis 2, hanya digunakan dua angka: 0 dan 1, untuk menyatakan sembarang bilangan bulat. Misalnya, deretan tiga angka 101 dalam sistem biner melambangkan bilangan 3 dalam sistem bilangan basis 10.
Tanpa penjelasan lebih jauh, kata ‘bilangan’ di sini selalu diartikan bilangan dalam sistem basis 10.
Jenis bilangan-bilangan Sederhana
Ada berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, … dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, …, keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmatika. Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang Z dan sedangkan himpunan semua bilangan asli biasanya dinyatakan dengan lambang N.
Setiap bentuk rasio p/q antara dua bilangan bulat p dan bilangan bulat tak nol q disebut bilangan rasional atau pecahan. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan Q.
Konsep Hingga Terhitung dan Tak Terhitung
Unsur-unsur ketiga himpunan N, Z dan Q di atas masih bisa ‘diurutkan’ (enumerated) tanpa ada satu pun yg tersisa atau tercecer. Himpunan berukuran tak hingga yg bisa diurutkan ini disebut himpunan terhitung (Inggris: countable atau denumerable).
Himpunan semua bilangan alami (real numbers), yaitu semua bilangan rasional digabung dengan semua bilangan tak rasional (atau irasional), dinyatakan dengan lambang R. Himpunan ini selain berukuran tak hingga, juga himpunan tak terhitung sebab bisa dibuktikan secara matematis, setiap usaha untuk mengurutkannya selalu gagal, karena menyisakan bilangan alami.
Silakan baca http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsDiagonalArgument.html untuk contoh pembuktian di atas. Fakta ini menjadi titik awal untuk membedakan dua konsep tak hingga dalam matematika: tak hingga terhitung dan tak hingga tak terhitung.
Untuk contoh bagaimana matematikawan mendefinisikan bilangan melalui berbagai aksioma, lihat struktur abstrak, bilangan asli atau universal.
Benda apakah sebuah bilangan itu?
Setiap bilangan, misalnya bilangan yang dilambangkan dengan angka 1, sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Misalnya, tulisan atau ketikan 1 yang terlihat di layar monitor dan Anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang tertangkap oleh indera penglihatan Anda berkat keberadaan unsur-unsur kimia yg peka cahaya dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar di layar monitor.
Demikian pula jika Anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang Anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari kapur tulis yang melambangkan bilangan 1.
Teori bilangan pada saat ini jauh lebih kompleks daripada sekedar aritmatika dan aplikasinya lebih banyak pada berbagai ilmu dan teknologi mutakhir, misalnya pada kriptografi. Silakan baca contoh isi mata kuliah teori bilangan dalam http://modular.fas.harvard.edu/edu/Fall2001/124/ Perlu diketahui, masalah dalam teori bilangan yang dikenal dengan Teorema Terakhir Fermat baru bisa dipecahkan setelah berumur ratusan tahun.
Konsep bilangan-bilangan yang lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman matematis dan logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, di awali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Selasa, 07 Juli 2009
Bilangan 1.089 Yang Mengagumkan!
Unit ini membahas tentang sebuah bilangan yang memiliki sifat-sifat yang sangat luar biasa. Kita mulai dengan menunjukkan bagaimana hal itu bisa terjadi dan muncul ketika tidak disangka-sangka. Mulai dengan menyajikannya kepada siswa-siswa anda, semuanya bekerja dengan sendiri, tentukan sebuah bilangan tiga digit (dimana satuan dan ratusannya bukan bilangan yang sama) dan ikuti petunjuk berikut ini:
1. Pilih bilangan tiga digit apapun (dimana satuan dan ratusannya bukan bilangan yang sama).
Kita akan melakukannya dengan anda di sini dengan memutuskan memilih 825.
2. Balik digit-digit dari bilangan yang telah anda pilih.
Kita akan melanjutkannya dengannmembalik digit dari 825 menjadi 528.
3. Kurangi kedua bilangan tersebut ( seperti biasa, yang lebih besar mengurangi yang lebih kecil)
Selisih hasilnya yakni 825 – 528 = 297.
4. Sekali lagi, balik digit dari selisihnya.
Membalik digit dari 297 kita dapatkan bilangan 792.
5. Sekarang, jumlahkan dua bilangan terakhir.
Kita jumlahkan dua bilangan terakhir menjadi 297 + 792 = 1.089.
Hasilnya akan sama* seperti yang telah kita lakukan walaupun mereka menggunakan bilangan yang berbeda dengan yang telah kita gunakan. Mereka mungkin akan terheran-heran karena setiap bilangan yang mereka pilih akan menghasilkan bilangan yang sama seperti yang telah kita lakukan, yaitu 1.089.
Bagaiaman hal itu bisa terjadi? Apakah ini sifat ajaib dari bilangan ini? Apakah kami melakukan tipu muslihat (kesalahan) dalam perhitungan kami?
*Jika tidak sama, berarti perhitungan anda salah. Cek lagi.
Tidak seperti keanehan-keanehan angka lainnya, yang bergantung pada keanehan dari sistem desimal, ilustrasi keanehan Matematika ini bergantung pada operasinya. Sebelum kita menjelajahi (untuk lebih memotivasi para siswa) kenapa hal ini terjadi, kita menginginkan anda agar bisa membuat siswa anda terkesan dengan sifat selanjutnya dari bilangan 1.089 yang indah ini.
Mari kita lihat sembilan perkalian dari 1.089:
1.089 × 1 = 1.089
1.089 × 2 = 2.178
1.089 × 3 = 3.267
1.089 × 4 = 4.356
1.089 × 5 = 5.445
1.089 × 6 = 6.534
1.089 × 7 = 7.623
1.089 × 8 = 8.712
1.089 × 9 = 9.801
Apakah anda memperhatikan pola antara hasil kalinya? Perhatikan pada hasil kali pertama dan kesembilannya. Mereka adalah kebalikan satu sama lain. Yang kedua dan kedelapan juga adalah kebalikan satu sama lain. Begitu juga polanya berlanjut hingga hasil kali kelima adalah kebalikan dari dirinya sendiri, yang dikenal sebagai bilangan palindromic*.
*Ada pembahasan khusus tentang Bilangan Palindromic.
Perhatikan, pada fakta bahwa 1.089 × 9 = 9.801, yang merupakan kebalikan dari bilangan aslinya. Sifat yang sama juga berlaku untuk 10.989 × 9 = 98.901, dan sama juga dengan 109.989 × 9 = 989.901. Para siswa akan menjadi lebih cepat untuk meneruskannya. Siswa-siswa anda akan menyadari dari sekarang bahwa kita mengubah bilangan asli 1.089 dengan memasukkan 9 di tengah 1.089. akan lebih baik untuk menyimpulkannya bahwa setiap bilangan-bilangan berikut ini memiliki sifat yang sama:
1.099.989, 10.999.989, 109.999.989, 1.099.999.989, 10.999.999.989, and so on.
Catatan: Masih banyak hal menarik lainnya tentang bilangan 1.089, namun lagi-lagi karena masalah yang sama saya tidak bisa menampilkan secara lengkap di sini. silahkan kirim pesan ke email saya.
1. Pilih bilangan tiga digit apapun (dimana satuan dan ratusannya bukan bilangan yang sama).
Kita akan melakukannya dengan anda di sini dengan memutuskan memilih 825.
2. Balik digit-digit dari bilangan yang telah anda pilih.
Kita akan melanjutkannya dengannmembalik digit dari 825 menjadi 528.
3. Kurangi kedua bilangan tersebut ( seperti biasa, yang lebih besar mengurangi yang lebih kecil)
Selisih hasilnya yakni 825 – 528 = 297.
4. Sekali lagi, balik digit dari selisihnya.
Membalik digit dari 297 kita dapatkan bilangan 792.
5. Sekarang, jumlahkan dua bilangan terakhir.
Kita jumlahkan dua bilangan terakhir menjadi 297 + 792 = 1.089.
Hasilnya akan sama* seperti yang telah kita lakukan walaupun mereka menggunakan bilangan yang berbeda dengan yang telah kita gunakan. Mereka mungkin akan terheran-heran karena setiap bilangan yang mereka pilih akan menghasilkan bilangan yang sama seperti yang telah kita lakukan, yaitu 1.089.
Bagaiaman hal itu bisa terjadi? Apakah ini sifat ajaib dari bilangan ini? Apakah kami melakukan tipu muslihat (kesalahan) dalam perhitungan kami?
*Jika tidak sama, berarti perhitungan anda salah. Cek lagi.
Tidak seperti keanehan-keanehan angka lainnya, yang bergantung pada keanehan dari sistem desimal, ilustrasi keanehan Matematika ini bergantung pada operasinya. Sebelum kita menjelajahi (untuk lebih memotivasi para siswa) kenapa hal ini terjadi, kita menginginkan anda agar bisa membuat siswa anda terkesan dengan sifat selanjutnya dari bilangan 1.089 yang indah ini.
Mari kita lihat sembilan perkalian dari 1.089:
1.089 × 1 = 1.089
1.089 × 2 = 2.178
1.089 × 3 = 3.267
1.089 × 4 = 4.356
1.089 × 5 = 5.445
1.089 × 6 = 6.534
1.089 × 7 = 7.623
1.089 × 8 = 8.712
1.089 × 9 = 9.801
Apakah anda memperhatikan pola antara hasil kalinya? Perhatikan pada hasil kali pertama dan kesembilannya. Mereka adalah kebalikan satu sama lain. Yang kedua dan kedelapan juga adalah kebalikan satu sama lain. Begitu juga polanya berlanjut hingga hasil kali kelima adalah kebalikan dari dirinya sendiri, yang dikenal sebagai bilangan palindromic*.
*Ada pembahasan khusus tentang Bilangan Palindromic.
Perhatikan, pada fakta bahwa 1.089 × 9 = 9.801, yang merupakan kebalikan dari bilangan aslinya. Sifat yang sama juga berlaku untuk 10.989 × 9 = 98.901, dan sama juga dengan 109.989 × 9 = 989.901. Para siswa akan menjadi lebih cepat untuk meneruskannya. Siswa-siswa anda akan menyadari dari sekarang bahwa kita mengubah bilangan asli 1.089 dengan memasukkan 9 di tengah 1.089. akan lebih baik untuk menyimpulkannya bahwa setiap bilangan-bilangan berikut ini memiliki sifat yang sama:
1.099.989, 10.999.989, 109.999.989, 1.099.999.989, 10.999.999.989, and so on.
Catatan: Masih banyak hal menarik lainnya tentang bilangan 1.089, namun lagi-lagi karena masalah yang sama saya tidak bisa menampilkan secara lengkap di sini. silahkan kirim pesan ke email saya.
Kesamaan Yang Aneh
Seringkali dimana bilangan berbicara lebih efektif dari pada penjelasan apapun. Berikut ini salah satu contohnya. Biarkan siswa-siswa anda melihat kesamaan-kesamaan ini dan perhatikan jika mereka dapat menemukan tipe yang sama lainnnya.
11 + 61 + 81 = 15 = 21 + 41 + 91
12 + 62 + 82 = 101 = 22 + 42 + 92
11 + 51 + 81 + 121 = 26 = 21 + 31 + 101 + 111
12 + 52 + 82 + 122 = 234 = 22 + 32 + 102 + 112
13 + 53 + 83 + 123 = 2.366 = 23 + 33 + 103 + 113
11+51+81+121+181+191 = 63=21+31+91+131+161+201
12+52+82+122+182+192 = 919=22+32+92+132+162+202
13+53+83+123+183+193 = 15.057=23+33+93+133+163+203
14+54+84+124+184+194 = 260.755=24+34+94+134+164+204
Tidak ada lagi yang bisa dikatakan di sini. Siswa-siswa anda mungkin akan mengatakan Wow! Apabila hal ini dapat dicapai, artinya anda telah mencapai tujuannya.
11 + 61 + 81 = 15 = 21 + 41 + 91
12 + 62 + 82 = 101 = 22 + 42 + 92
11 + 51 + 81 + 121 = 26 = 21 + 31 + 101 + 111
12 + 52 + 82 + 122 = 234 = 22 + 32 + 102 + 112
13 + 53 + 83 + 123 = 2.366 = 23 + 33 + 103 + 113
11+51+81+121+181+191 = 63=21+31+91+131+161+201
12+52+82+122+182+192 = 919=22+32+92+132+162+202
13+53+83+123+183+193 = 15.057=23+33+93+133+163+203
14+54+84+124+184+194 = 260.755=24+34+94+134+164+204
Tidak ada lagi yang bisa dikatakan di sini. Siswa-siswa anda mungkin akan mengatakan Wow! Apabila hal ini dapat dicapai, artinya anda telah mencapai tujuannya.
Kekuatan Hubungan Yang Luar Biasa
Sistem bilangan kita memiliki banyak sekali keistimewaan luar biasa yang tersusun di dalamnya. Menemukan mereka tentu saja dapat menjadi suatu pengalaman yang bermanfaat. Banyak siswa yang perlu dibujuk untuk mencari hubungan-hubungan tersebut. Inilah tempat dimana guru harus hadir bagi para siswanya.
Anda bisa menceritakan kepada mereka tentang tokoh Matematika yang sangat terkenal Carl Friedrich Gauss (1777-1855), seorang yang memiliki kemampuan aritmatika yang sangat ulung untuk mencari hubungan-hubungan dan pola-pola yang tidak dicapai oleh akal yang paling cerdas pun. Dia menggunakan keahlian-keahlian yang tidak begitu cerdik ini untuk memperkirakan dan membuktikan banyak teori Matematika yang sangat penting. Berikan siswa-siswa anda suatu kesempatan untuk menemukan hubungan-hubungan itu. Jangan mengecilkan hati terhadap penemuan-penemuan yang sepele, karena itulah yang akan mengantarkan mereka menuju kepada hasil-hasil yang besar nantinya.
Tunjukkan mereka hubungan-hubungan berikutnya dan mintalah mereka untuk menggambarkan apa yang terjadi selanjutnya di sini.
(maaf, file lengkapnya tidak saya cantumkan di sini, karena ada beberapa format word yang tidak bisa digunakan di facebook, jika anda berminat silahkan kirim email alamat email saya, anda akan mendapatkan file dalam bentuk PDF)
Anda bisa menceritakan kepada mereka tentang tokoh Matematika yang sangat terkenal Carl Friedrich Gauss (1777-1855), seorang yang memiliki kemampuan aritmatika yang sangat ulung untuk mencari hubungan-hubungan dan pola-pola yang tidak dicapai oleh akal yang paling cerdas pun. Dia menggunakan keahlian-keahlian yang tidak begitu cerdik ini untuk memperkirakan dan membuktikan banyak teori Matematika yang sangat penting. Berikan siswa-siswa anda suatu kesempatan untuk menemukan hubungan-hubungan itu. Jangan mengecilkan hati terhadap penemuan-penemuan yang sepele, karena itulah yang akan mengantarkan mereka menuju kepada hasil-hasil yang besar nantinya.
Tunjukkan mereka hubungan-hubungan berikutnya dan mintalah mereka untuk menggambarkan apa yang terjadi selanjutnya di sini.
(maaf, file lengkapnya tidak saya cantumkan di sini, karena ada beberapa format word yang tidak bisa digunakan di facebook, jika anda berminat silahkan kirim email alamat email saya, anda akan mendapatkan file dalam bentuk PDF)
Keindahan Hubungan Bilangan
Siapa yang mengatakan bahwa bilangan tidak dapat membentuk hubungan-hubungan yang indah! Menunjukkan kepada siswa-siswa anda beberapa keadaan yang unik ini akan memberikan mereka rasa bahwa dalam bilangan ada hal-hal yang tersembunyi. Mereka akan terdorong tidak hanya untuk memeriksa atau membuktikan hubungan-hubungan ini, tetapi juga untuk menemukan keindahan lainnya.
Perhatikan eksponen (pangkat dalam aljabar) yang bertalian berikut.
135 = 11* + 32* + 53*
175 = 11* + 72* + 53*
518 = 51* + 12* + 83*
598 = 51* + 92* + 83*
Sekarang, ambil satu tempat lebih jauh dan kita dapat
1.306 = 11* + 32* + 03* + 64*
1.676 = 11* + 62* + 73* + 64*
2.427 = 21* + 42* + 23* + 74*
Yang berikutnya sungguh luar biasa. Perhatikan antara hubungan eksponen dan bilangannya.
3.435 = 33* + 44* + 33* + 55*
438.579.088 = 44* + 33* + 88* + 55* + 77* + 99* + 00* + 88* + 88*
Sekarang tergantung kepada kelas/ tingkat siswa untuk membuktikan hal ini dan mencari hubungan-hubungan indah lainnya.
*Bilangan yang ada tanda *di pojok kanan atasnya adalah pangkat dari bilangan yang disampingnya.
11*, artinya 1 pangkat 1
88*, artinya 8 pangkat 8
Perhatikan eksponen (pangkat dalam aljabar) yang bertalian berikut.
135 = 11* + 32* + 53*
175 = 11* + 72* + 53*
518 = 51* + 12* + 83*
598 = 51* + 92* + 83*
Sekarang, ambil satu tempat lebih jauh dan kita dapat
1.306 = 11* + 32* + 03* + 64*
1.676 = 11* + 62* + 73* + 64*
2.427 = 21* + 42* + 23* + 74*
Yang berikutnya sungguh luar biasa. Perhatikan antara hubungan eksponen dan bilangannya.
3.435 = 33* + 44* + 33* + 55*
438.579.088 = 44* + 33* + 88* + 55* + 77* + 99* + 00* + 88* + 88*
Sekarang tergantung kepada kelas/ tingkat siswa untuk membuktikan hal ini dan mencari hubungan-hubungan indah lainnya.
*Bilangan yang ada tanda *di pojok kanan atasnya adalah pangkat dari bilangan yang disampingnya.
11*, artinya 1 pangkat 1
88*, artinya 8 pangkat 8
Kejutan Pola-Pola Bilangan 6
Inilah pola menarik lainnya untuk lebih memotivasi siswa-siswa anda agar mencari dengan sendiri pola-pola Matematika lainnya. Lagi lagi tidak membutuhkan banyak ungkapan untuk menggambarkan keindahan pola berikut ini.
1 = 1 = 1 × 1 = 12*
1 + 2 + 1 = 2 + 2 = 2 × 2 = 22*
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 32*
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 4 = 42*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 × 5 = 52*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 62*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 × 7 = 72*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
= 8 × 8 = 82*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 × 9 = 92*
*2 adalah pangkat bilangannya, seperti 1 pangkat 2 hingga 9 pangkat 2
(Saya tidak tahu cara menulis bilangan yang berpangkat di dalam catatan face book, setelah di copy dari word formatnya berubah menjadi bilangan biasa, ada yang mau berbagi informasi?)
1 = 1 = 1 × 1 = 12*
1 + 2 + 1 = 2 + 2 = 2 × 2 = 22*
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 32*
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 4 = 42*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 × 5 = 52*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 62*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 × 7 = 72*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
= 8 × 8 = 82*
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 × 9 = 92*
*2 adalah pangkat bilangannya, seperti 1 pangkat 2 hingga 9 pangkat 2
(Saya tidak tahu cara menulis bilangan yang berpangkat di dalam catatan face book, setelah di copy dari word formatnya berubah menjadi bilangan biasa, ada yang mau berbagi informasi?)
Kejutan Pola-Pola Bilangan 5
Berikut ini beberapa keanehan Matematika yang bergantung pada sifat aneh dari sistem bilangannya. Juga tidak membutuhkan banyak ungkapan untuk mendemonstrasikan pesonanya, cukup jelas pada pandangan pertama. Ini bergantung kepada sifat yang tergambarkan di Pola Bilangan 4 dan sifat yang luar biasa dari bilangan 9.
999.999 × 1 = 0.999.999
999.999 × 2 = 1.999.998
999.999 × 3 = 2.999.997
999.999 × 4 = 3.999.996
999.999 × 5 = 4.999.995
999.999 × 6 = 5.999.994
999.999 × 7 = 6.999.993
999.999 × 8 = 7.999.992
999.999 × 9 = 8.999.991
999.999 × 10 = 9.999.990
Lagi lagi bilangan 9 yang memperlihatkan beberapa sifat uniknya pada fakta bahwa ia kurang 1 dari 10, menghadirkan beberapa keanehan yang menarik.
9 × 9 = 81
99 × 99 = 9.801
999 × 999 = 998.001
9.999 × 9.999 = 99.980.001
99.999 × 99.999 = 9.999.800.001
999.999 × 999.999 = 999.998.000.001
9.999.999 × 9.999.999 = 99.999.980.000.001
Ketika bermain dengan bilangan 9, anda sebaiknya menanyakan siswa-siswa anda untuk menemukan sebuah bilangan delapan digit yang mana tidak ada digit yang berulang dan ketika dikalikan dengan 9 menghasilkan sebuah bilangan sembilan digit yang mana tidak ada digitnya yang berulang. Ini beberapa pilihan yang benar:
81.274.365 × 9 = 731.469.285
72.645.831 × 9 = 653.812.479
58.132.764 × 9 = 523.194.876
76.125.483 × 9 = 685.129.347
999.999 × 1 = 0.999.999
999.999 × 2 = 1.999.998
999.999 × 3 = 2.999.997
999.999 × 4 = 3.999.996
999.999 × 5 = 4.999.995
999.999 × 6 = 5.999.994
999.999 × 7 = 6.999.993
999.999 × 8 = 7.999.992
999.999 × 9 = 8.999.991
999.999 × 10 = 9.999.990
Lagi lagi bilangan 9 yang memperlihatkan beberapa sifat uniknya pada fakta bahwa ia kurang 1 dari 10, menghadirkan beberapa keanehan yang menarik.
9 × 9 = 81
99 × 99 = 9.801
999 × 999 = 998.001
9.999 × 9.999 = 99.980.001
99.999 × 99.999 = 9.999.800.001
999.999 × 999.999 = 999.998.000.001
9.999.999 × 9.999.999 = 99.999.980.000.001
Ketika bermain dengan bilangan 9, anda sebaiknya menanyakan siswa-siswa anda untuk menemukan sebuah bilangan delapan digit yang mana tidak ada digit yang berulang dan ketika dikalikan dengan 9 menghasilkan sebuah bilangan sembilan digit yang mana tidak ada digitnya yang berulang. Ini beberapa pilihan yang benar:
81.274.365 × 9 = 731.469.285
72.645.831 × 9 = 653.812.479
58.132.764 × 9 = 523.194.876
76.125.483 × 9 = 685.129.347
Kejutan Pola-Pola Bilangan 4
Berikut ini beberapa keanehan Matematika yang bergantung pada sifat aneh dari sistem bilangannya. Juga tidak membutuhkan banyak ungkapan untuk mendemonstrasikan pesonanya, cukup jelas pada pandangan pertama. Belum lagi dalam kasus ini, anda akan memperhatikan bahwa banyak bergantung pada bilangan 1.001, yang merupakan hasil kali dari 7, 11, dan 13. Selanjutnya, ketika siswa-siswa anda mengalikan 1.001 dengan sebuah bilangan tiga digit maka hasilnya adalah simetri yang baik. Sebagai contoh, 987 × 1.001 = 987.987. Biarkan mereka mencoba sedikit dari hal ini dengan sendiri sebelum memulai cara kerjanya.
Sekarang mari kita balik hubungan ini: Setiap bilangan enam digit yang tersusun dari rangkaian bilangan tiga digit yang berulang dua kali adalah bilangan yang dapat dibagi oleh 7, 11, dan 13. Sebagai contoh,
643.643/7 = 91.949
643.643/11 = 58.513
643.643/13 = 49.511
Kita juga dapat mengambil kesimpulan lain dari bilangan 1.001 yang menarik ini. Inilah, suatu bilangan enam digit berulang adalah selalu dapat dibagi oleh 3, 7, 11, dan 13. Berikut ini salah satu contohnya, buatlah siswa-siswa anda untuk membuktikan perkiraan kita dengan mencoba yang lainnya.
111.111/3 = 37.037
111.111/7 = 15.857
111.111/11 =10.101
111.111/13 = 8.547
Apa hubungan-hubungan lain yang dapat ditemukan yang berlaku pada sifat dari 1.001?
Sekarang mari kita balik hubungan ini: Setiap bilangan enam digit yang tersusun dari rangkaian bilangan tiga digit yang berulang dua kali adalah bilangan yang dapat dibagi oleh 7, 11, dan 13. Sebagai contoh,
643.643/7 = 91.949
643.643/11 = 58.513
643.643/13 = 49.511
Kita juga dapat mengambil kesimpulan lain dari bilangan 1.001 yang menarik ini. Inilah, suatu bilangan enam digit berulang adalah selalu dapat dibagi oleh 3, 7, 11, dan 13. Berikut ini salah satu contohnya, buatlah siswa-siswa anda untuk membuktikan perkiraan kita dengan mencoba yang lainnya.
111.111/3 = 37.037
111.111/7 = 15.857
111.111/11 =10.101
111.111/13 = 8.547
Apa hubungan-hubungan lain yang dapat ditemukan yang berlaku pada sifat dari 1.001?
Kejutan Pola-Pola BIlangan 3
Berikut ini beberapa pesona Matematika yang bergantung pada sifat aneh dari sistem bilangannya. Juga tidak membutuhkan banyak ungkapan untuk mendemonstrasikan pesonanya, cukup jelas pada pandangan pertama. Hanya perhatikan, nikmati, dan bagi sifat-sifat yang luar biasa ini dengan para siswa anda. Biarkan mereka mengapresiasi pola-pola, dan jika dimungkinkan cobalah untuk mencari penjelasannya. Anda bisa menanyakan mereka kenapa perkalian dengan 9 akan memberikan hasil yang luar biasa. Ketika mereka melihat bahwa 9 adalah bilangan yang kurang 1 dari 10, mungkin mereka mendapatkan ide-ide yang lain untuk mengembangkan pola-pola perkaliannya. Sebuah petunjuk mungkin diperlukan untuk mengarahkan mereka untuk melakukan perkalian dengan 11 (lebih 1 dari 10) untuk mencari suatu pola.
0 × 9 + 1 = 1
1 × 9 + 2 = 11
12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1.111
1.234 × 9 + 5 = 11.111
12.345 × 9 + 6 = 111.111
123.456 × 9 + 7 = 1.111.111
1.234.567 × 9 + 8 = 11.111.111
12.345.678 × 9 + 9 = 111.111.111
Suatu proses yang mirip menghasilkan pola lain yang menarik. Bisakah hal ini memberikan lebih banyak masukan kepada para siswa anda untuk mencari lebih dalam?
0 × 9 + 8 = 8
9 × 9 + 7 = 88
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8.888
9.876 × 9 + 4 = 88.888
98.765 × 9 + 3 = 888.888
987.654 × 9 + 2 = 8.888.888
9.876.543 × 9 + 1 = 88.888.888
98.765.432 × 9 + 0 = 888.888.888
Sekarang memeriksa sesuatu yang logis, dimana terlihat pola dari hasil-hasil kali yang aneh ini.
1 × 8 = 8
11 × 88 = 968
111 × 888 = 98568
1111 × 8888 = 9874568
11111 × 88888 = 987634568
111111 × 888888 = 98765234568
1111111 × 8888888 = 9876541234568
11111111 × 88888888 = 987654301234568
111111111 × 888888888 = 98765431901234568
1111111111 × 8888888888 = 987654321791234568
0 × 9 + 1 = 1
1 × 9 + 2 = 11
12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1.111
1.234 × 9 + 5 = 11.111
12.345 × 9 + 6 = 111.111
123.456 × 9 + 7 = 1.111.111
1.234.567 × 9 + 8 = 11.111.111
12.345.678 × 9 + 9 = 111.111.111
Suatu proses yang mirip menghasilkan pola lain yang menarik. Bisakah hal ini memberikan lebih banyak masukan kepada para siswa anda untuk mencari lebih dalam?
0 × 9 + 8 = 8
9 × 9 + 7 = 88
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8.888
9.876 × 9 + 4 = 88.888
98.765 × 9 + 3 = 888.888
987.654 × 9 + 2 = 8.888.888
9.876.543 × 9 + 1 = 88.888.888
98.765.432 × 9 + 0 = 888.888.888
Sekarang memeriksa sesuatu yang logis, dimana terlihat pola dari hasil-hasil kali yang aneh ini.
1 × 8 = 8
11 × 88 = 968
111 × 888 = 98568
1111 × 8888 = 9874568
11111 × 88888 = 987634568
111111 × 888888 = 98765234568
1111111 × 8888888 = 9876541234568
11111111 × 88888888 = 987654301234568
111111111 × 888888888 = 98765431901234568
1111111111 × 8888888888 = 987654321791234568
Kejutan Pola-Pola Bilangan 2
Berikut ini beberapa pesona matematika yang bergantung pada sifat aneh dari sistem bilangannya. Juga tidak membutuhkan banyak ungkapan untuk mendemonstrasikan pesonanya, cukup jelas pada pandangan pertama. Hanya perhatikan, nikmati, dan bagi sifat-sifat yang luar biasa ini dengan para siswa anda. Biarkan mereka mengapresiasi pola-pola, dan jika dimungkinkan cobalah untuk mencari penjelasannya.
12345679 × 9 = 111.111.111
12345679 × 18 = 222.222.222
12345679 × 27 = 333.333.333
12345679 × 36 = 444.444.444
12345679 × 45 = 555.555.555
12345679 × 54 = 666.666.666
12345679 × 63 = 777.777.777
12345679 × 72 = 888.888.888
12345679 × 81 = 999.999.999
Pada pola berikut ini, perhatikan bahwa digit-digit yang pertama dan terakhir dari hasil perkalian adalah digit-digit perkalian 9 (kelipatan).
987654321 × 9 = 08 888 888 889
987654321 × 18 = 17 777 777 778
987654321 × 27 = 26 666 666 667
987654321 × 36 = 35 555 555 556
987654321 × 45 = 44 444 444 445
987654321 × 54 = 53 333 333 334
987654321 × 63 = 62 222 222 223
987654321 × 72 = 71 111 111 112
987654321 × 81 = 80 000 000 001
Adalah hal biasa bagi para siswa untuk ingin menemukan lanjutan dari pola yang aneh ini. Mereka mungkin akan mencoba dengan menjumlahkan digit-digit pada yang dikali pertama atau dengan mengalikannya dengan perkalian lain dari 9. Bagaimana juga, percobaan sebaiknya yang dianjurkan.
12345679 × 9 = 111.111.111
12345679 × 18 = 222.222.222
12345679 × 27 = 333.333.333
12345679 × 36 = 444.444.444
12345679 × 45 = 555.555.555
12345679 × 54 = 666.666.666
12345679 × 63 = 777.777.777
12345679 × 72 = 888.888.888
12345679 × 81 = 999.999.999
Pada pola berikut ini, perhatikan bahwa digit-digit yang pertama dan terakhir dari hasil perkalian adalah digit-digit perkalian 9 (kelipatan).
987654321 × 9 = 08 888 888 889
987654321 × 18 = 17 777 777 778
987654321 × 27 = 26 666 666 667
987654321 × 36 = 35 555 555 556
987654321 × 45 = 44 444 444 445
987654321 × 54 = 53 333 333 334
987654321 × 63 = 62 222 222 223
987654321 × 72 = 71 111 111 112
987654321 × 81 = 80 000 000 001
Adalah hal biasa bagi para siswa untuk ingin menemukan lanjutan dari pola yang aneh ini. Mereka mungkin akan mencoba dengan menjumlahkan digit-digit pada yang dikali pertama atau dengan mengalikannya dengan perkalian lain dari 9. Bagaimana juga, percobaan sebaiknya yang dianjurkan.
Kejutan Pola-Pola Bilangan 1
Berikut ini beberapa pola bilangan yang sangat mengherankan, yaitu:
Banyak sekali kita temukan ketika pesona matematika terlihat dalam sifat yang mengherankan dari sistem bilangannya. Tidak dibutuhkan banyak ucapan untuk mendemonstrasikan pesona tersebut. Hal ini terlihat jelas dari pola-pola yang dicapainya. Tatap, nikmati, dan bentangkan sifat-sifat yang luar biasa ini kepada para siswa. Biarkan mereka menilai pola-pola ini, dan jika dimungkinkan, cobalah untuk mencari suatu penjelasannya. Yang terpenting adalah bahwa para siswa dapat memperoleh suatu pengetahuan dari keindahan yang terdapat pada pola-pola bilangan tersebut.
1 × 1 = 1
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12.321
1.111 × 1.111 = 1.234.321
11.111 × 11.111 = 123.454.321
111.111 × 111.111 = 12.345.654.321
1.111.111 × 1.111.111 = 1.234.567.654.321
11.111.111 × 11.111.111 = 123.456.787.654.321
111.111.111 × 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321
1 × 8 + 1 = 9
12 × 8 + 2 = 98
123 × 8 + 3 = 987
1.234 × 8 + 4 = 9.876
12.345 × 8 + 5 = 98.765
123.456 × 8 + 6 = 987.654
1.234.567 × 8 + 7 = 9.876.543
12.345.678 × 8 + 8 = 98.765.432
123.456.789 × 8 + 9 = 987.654.321
Perhatikan di bawah ini, bagaimana berbagai hasil kali dari 76.923 menghasilkan bilangan-bilangan dalam bentuk yang sama tetapi dengan suatu awal yang berbeda. Dimana digit yang pertama dari hasil kali menjadi akhir dari bilangan membentuk hasil kali berikutnya. Dengan kata lain, bentuk dari digit-digit tersebut adalah suatu yang utuh atau lengkap.
76.923 × 1 = 076.923
76.923 × 10 = 769.230
76.923 × 9 = 692.307
76.923 × 12 = 923.076
76.923 × 3 = 230.769
76.923 × 4 = 307.692
Perhatikan di bawah ini, bagaimana berbagai hasil kali dari 76.923 menghasilkan bilangan-bilangan yang berbeda dari yang di atas, belum lagi dalam bentuk yang sama tetapi dengan suatu awal yang berbeda. Begitu pula digit pertama dari hasil kali menjadi akhir dari bilangan membentuk hasil kali berikutnya. Dengan kata lain, bentuk dari digit-digit tersebut adalah suatu yang utuh atau lengkap.
76.923 × 2 = 153.846
76.923 × 7 = 538.461
76.923 × 5 = 384.615
76.923 × 11 = 846.153
76.923 × 6 = 461.538
76.923 × 8 = 615.384
Bilangan aneh lainnya adalah 142.857. Ketika dikalikan dengan bilangan-bilangan 2 hingga 8, hasilnya sungguh mengherankan. Mengingatkan hasil kali yang berikutnya dan menunjukkan suatu keanehan.
142.857 × 2 = 285.714
142.857 × 3 = 428.571
142.857 × 4 = 571.428
142.857 × 5 = 714.285
142.857 × 6 = 857.142
Anda dapat melihat simetri-simetri pada hasil-hasil kali tetapi perhatikan juga bahwa digit-digit yang sama digunakan pada hasil kali seperti pada faktor yang pertama. Selanjutnya, mengingat bentuk dari digit-digitnya dengan mengecualikan awalnya, digit-digitnya dalam rangkaian yang sama.
Sekarang perhatikan hasil kali dari 142.857 × 7 = 999.999 Terkejut?
Dan lebih menggelikan lagi, walaupun kelihatan berbeda dengan hasil kalinya, 142.857 × 8 = 1.142.856. Jika kita menghilangkan digit jutaannya dan menambahkannya pada digit satuannya, maka akan membentuk bilangan aslinya (142.857).
Akan sangat bijaksana membolehkan para siswa menemukan sendiri pola-polanya. Anda dapat memberikan sebuah awal atau petunjuk bagaimana mereka sebaiknya memulai dan kemudian biarkan mereka membuat penemuan-penemuan dengan sendirinya. Hal ini akan memberikan mereka suatu rasa kepemilikan dalam penemuan-penemuan. Itulah beberapa bilangan yang menghasilkan hasil-hasil kali yang aneh.
(Pola-pola aneh bilangan lainnya akan menyusul)
Banyak sekali kita temukan ketika pesona matematika terlihat dalam sifat yang mengherankan dari sistem bilangannya. Tidak dibutuhkan banyak ucapan untuk mendemonstrasikan pesona tersebut. Hal ini terlihat jelas dari pola-pola yang dicapainya. Tatap, nikmati, dan bentangkan sifat-sifat yang luar biasa ini kepada para siswa. Biarkan mereka menilai pola-pola ini, dan jika dimungkinkan, cobalah untuk mencari suatu penjelasannya. Yang terpenting adalah bahwa para siswa dapat memperoleh suatu pengetahuan dari keindahan yang terdapat pada pola-pola bilangan tersebut.
1 × 1 = 1
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12.321
1.111 × 1.111 = 1.234.321
11.111 × 11.111 = 123.454.321
111.111 × 111.111 = 12.345.654.321
1.111.111 × 1.111.111 = 1.234.567.654.321
11.111.111 × 11.111.111 = 123.456.787.654.321
111.111.111 × 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321
1 × 8 + 1 = 9
12 × 8 + 2 = 98
123 × 8 + 3 = 987
1.234 × 8 + 4 = 9.876
12.345 × 8 + 5 = 98.765
123.456 × 8 + 6 = 987.654
1.234.567 × 8 + 7 = 9.876.543
12.345.678 × 8 + 8 = 98.765.432
123.456.789 × 8 + 9 = 987.654.321
Perhatikan di bawah ini, bagaimana berbagai hasil kali dari 76.923 menghasilkan bilangan-bilangan dalam bentuk yang sama tetapi dengan suatu awal yang berbeda. Dimana digit yang pertama dari hasil kali menjadi akhir dari bilangan membentuk hasil kali berikutnya. Dengan kata lain, bentuk dari digit-digit tersebut adalah suatu yang utuh atau lengkap.
76.923 × 1 = 076.923
76.923 × 10 = 769.230
76.923 × 9 = 692.307
76.923 × 12 = 923.076
76.923 × 3 = 230.769
76.923 × 4 = 307.692
Perhatikan di bawah ini, bagaimana berbagai hasil kali dari 76.923 menghasilkan bilangan-bilangan yang berbeda dari yang di atas, belum lagi dalam bentuk yang sama tetapi dengan suatu awal yang berbeda. Begitu pula digit pertama dari hasil kali menjadi akhir dari bilangan membentuk hasil kali berikutnya. Dengan kata lain, bentuk dari digit-digit tersebut adalah suatu yang utuh atau lengkap.
76.923 × 2 = 153.846
76.923 × 7 = 538.461
76.923 × 5 = 384.615
76.923 × 11 = 846.153
76.923 × 6 = 461.538
76.923 × 8 = 615.384
Bilangan aneh lainnya adalah 142.857. Ketika dikalikan dengan bilangan-bilangan 2 hingga 8, hasilnya sungguh mengherankan. Mengingatkan hasil kali yang berikutnya dan menunjukkan suatu keanehan.
142.857 × 2 = 285.714
142.857 × 3 = 428.571
142.857 × 4 = 571.428
142.857 × 5 = 714.285
142.857 × 6 = 857.142
Anda dapat melihat simetri-simetri pada hasil-hasil kali tetapi perhatikan juga bahwa digit-digit yang sama digunakan pada hasil kali seperti pada faktor yang pertama. Selanjutnya, mengingat bentuk dari digit-digitnya dengan mengecualikan awalnya, digit-digitnya dalam rangkaian yang sama.
Sekarang perhatikan hasil kali dari 142.857 × 7 = 999.999 Terkejut?
Dan lebih menggelikan lagi, walaupun kelihatan berbeda dengan hasil kalinya, 142.857 × 8 = 1.142.856. Jika kita menghilangkan digit jutaannya dan menambahkannya pada digit satuannya, maka akan membentuk bilangan aslinya (142.857).
Akan sangat bijaksana membolehkan para siswa menemukan sendiri pola-polanya. Anda dapat memberikan sebuah awal atau petunjuk bagaimana mereka sebaiknya memulai dan kemudian biarkan mereka membuat penemuan-penemuan dengan sendirinya. Hal ini akan memberikan mereka suatu rasa kepemilikan dalam penemuan-penemuan. Itulah beberapa bilangan yang menghasilkan hasil-hasil kali yang aneh.
(Pola-pola aneh bilangan lainnya akan menyusul)
Tulisan ini saya kutip dari buku Math Wonders to Inspire Teachers and Students karya Alfred S. Posamentier. Saya mencoba menerjemahkannya sendiri dengan modal bahasa Inggris yang pas-pasan, jadi mungkin tidak begitu enak untuk dibaca karena pilihan-pilahan katanya tidak begitu tepat.
Selamat membaca!
Keindahan Pada Bilangan
Kita telah terbiasa melihat angka-angka di dalam tabel atau meja pada halaman berita olahraga atau bisnis dari suatu surat kabar. Kita menggunakan angka-angka secara terus-menerus di dalam pengalaman hidup kita sehari-hari. Baik untuk mewakili suatu kuantitas atau untuk menunjukkan sesuatu seperti jalan, alamat, atau halaman. Kita menggunakan angka-angka tanpa pernah meluangkan waktu untuk mengamati beberapa sifatnya yang luar biasa. Seperti halnya kita tidak berhenti untuk mencium bunga-bunga saat kita berjalan pada suatu kebun, suatu ungkapan yang mengatakan bahwa “luangkan waktu untuk mencium wangi bunga mawar.” Memeriksa sifat-sifat bilangan yang luar biasa membutuhkan usaha dan apresiasi yang lebih mendalam terhadap simbol/lambang yang kita semua sering kali temui dan akui fakta kebenarannya.
Para siswa terlalu sering diajarkan matematika sebagai suatu hal yang mengeringkan dan sebatas intruksi-intruksi mata pelajaran. Sebagai guru, kita mempunyai suatu kewajiban untuk membuatnya lebih menarik. Untuk menunjukkan beberapa keanehan bilangan akan membawa suasana yang baru terhadap materi atau subjek yang dipelajari. Hal itu akan membangkitkan suatu respon yang “wah” dari para siswa. Itulah sebaiknya yang harus dicapai, buat mereka penasaran tentang materi yang dipelajari, dan motivasi mereka untuk “menggali” lebih jauh lagi.
Selamat membaca!
Keindahan Pada Bilangan
Kita telah terbiasa melihat angka-angka di dalam tabel atau meja pada halaman berita olahraga atau bisnis dari suatu surat kabar. Kita menggunakan angka-angka secara terus-menerus di dalam pengalaman hidup kita sehari-hari. Baik untuk mewakili suatu kuantitas atau untuk menunjukkan sesuatu seperti jalan, alamat, atau halaman. Kita menggunakan angka-angka tanpa pernah meluangkan waktu untuk mengamati beberapa sifatnya yang luar biasa. Seperti halnya kita tidak berhenti untuk mencium bunga-bunga saat kita berjalan pada suatu kebun, suatu ungkapan yang mengatakan bahwa “luangkan waktu untuk mencium wangi bunga mawar.” Memeriksa sifat-sifat bilangan yang luar biasa membutuhkan usaha dan apresiasi yang lebih mendalam terhadap simbol/lambang yang kita semua sering kali temui dan akui fakta kebenarannya.
Para siswa terlalu sering diajarkan matematika sebagai suatu hal yang mengeringkan dan sebatas intruksi-intruksi mata pelajaran. Sebagai guru, kita mempunyai suatu kewajiban untuk membuatnya lebih menarik. Untuk menunjukkan beberapa keanehan bilangan akan membawa suasana yang baru terhadap materi atau subjek yang dipelajari. Hal itu akan membangkitkan suatu respon yang “wah” dari para siswa. Itulah sebaiknya yang harus dicapai, buat mereka penasaran tentang materi yang dipelajari, dan motivasi mereka untuk “menggali” lebih jauh lagi.
Langganan:
Postingan (Atom)